Questão 6 - Em um parque de diversões, você pode ganhar uma girafa inflável se conseguir lançar uma moeda de 25 centavos em um pequeno prato. O prato está sobre uma prateleira acima do ponto em que a moeda deixa sua mão, a uma distância horizontal de 2,1 m deste ponto.
Você lança a moeda com velocidade de v0=6,4 m / s formando um angulo de theta=60^circ acima da horizontal. Despreze a resistência do ar.
a) Mostre que a altura alcançada pela moeda é dado por
H=v0^2 sen^2 theta2 g
b) Mostre que o alcance horizontal é dado por
A=v0^2 sen 2 thetag
E calcule esse alcance horizontal, se não existisse o prato para aparar a moeda.
c) Quanto tempo a moeda levou para atingir o prato?
d) Qual é a altura da prateleira em relação ao nível da sua mão?
e) Qual é o componente vertical da velocidade da moeda imediatamente antes que ela encoste no prato?

Passo 1

O enunciado descreve o lançamento de uma moeda como projétil, com velocidade inicial v0=6,4,m/s e ângulo theta=60^circ acima da horizontal. O prato está a 2,1,m de distância horizontal do ponto de lançamento. Precisamos:
– a) demonstrar que a altura máxima é
H=v0^2sin^2theta2g,
– b) demonstrar que o alcance total é
A=v0^2sin2thetag
e calcular A,
– c) achar o tempo até atingir o prato,
– d) determinar a altura da prateleira,
– e) encontrar a componente vertical da velocidade no instante do impacto.
Vamos usar decomposição da velocidade e as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial:
v0x=v0costheta, v0y=v0sintheta
As equações descritas são
x(t)=v0x,t, y(t)=v0y,t-12,g,t^2,
onde tomamos g=9,8,m/s^2.

Passo 3

Para a altura máxima o componente vertical da velocidade se anula:
vy(t)=v0y-g,t=0 ;Longrightarrow;tH=v0yg
Substituindo em y(t) obtemos
H=y(tH) =v0ytH-12g,tH^2 =v0y^22g =v0^2sin^2theta2g

Passo 4

Para o alcance total A, o projétil volta a y=0 em
tA=2v0yg
Logo
A=x(tA) =v0xtA =v0costheta;2v0sinthetag =v0^2(2sinthetacostheta)g =v0^2sin2thetag
Numericamente:
v0^2=6,4^2=40,96, sin2theta=sin120^circ=raiz32,
A=40,96cdotraiz329,8approx3,62,m

Passo 5

O tempo para a moeda percorrer x=2,1,m é
tp=2,1v0x =2,16,4cos60^circ =2,13,2 approx0,656,s

Passo 6

A altura da prateleira é
yp =v0ytp-12g,tp^2 =6,4sin60^circcdot0,656 -tfrac12cdot9,8cdot(0,656)^2 approx1,53,m

Passo 7

A componente vertical da velocidade pouco antes do impacto é
vy(tp) =v0y-g,tp =6,4sin60^circ-9,8cdot0,656 approx-0,89,m/s,
o sinal negativo indicando que a moeda está descendo.

Resposta

a) H=v0^2sin^2theta2g
b) A=v0^2sin2thetagapprox3,62,m
c) tapprox0,66,s
d) Altura da prateleira approx1,53,m
e) Componente vertical da velocidade vyapprox-0,89,m/s

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