Questão 9 - Uma partícula executa um movimento circular uniforme de período T=2,0 s e raio r=3,00 m. No instante t1, a aceleração é a=(6,00 m / s^2) imath+(-4,00 m / s^2) jmath. Determine, nesse instante, os valores de
a) v cdot a
b) v times a
c) r times a

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula em movimento circular uniforme (MCU) de período T=2,0 s e raio r=3,00 m. No instante considerado, a aceleração é
vec a = (6,00 m/s^2),hatimath + (-4,00 m/s^2),hatjmath
Pede-se, nesse instante, os valores de
a) vec v cdot vec a
b) vec v times vec a
c) vec r times vec a
Para resolver precisamos usar as propriedades do MCU: a aceleração é puramente centrípeta (radial), de módulo
a = omega^2,r,
com omega = dfrac2piT, e a velocidade é sempre tangencial, de módulo
v = omega,r,
satisfazendo
vec a = -omega^2,vec r, vec v = omega,hat k times vec r

Passo 2

Cálculo de vec v cdot vec a.
Em MCU a aceleração é perpendicular à velocidade (aceleração puramente radial, velocidade puramente tangencial). Por isso
vec v ,cdot,vec a = 0

Passo 3

Cálculo de vec v times vec a.
Usamos
vec v = omega,hat k times vec r, vec a = -omega^2,vec r
Logo
vec v times vec a = l(omega,hat k times vec rr)timesl(-omega^2,vec rr) = -omega^3,(hat k times vec r)timesvec r
Mas de uma identidade vetorial (hat ktimesvec r)timesvec r = -,r^2,hat k, obtemos
vec v times vec a = omega^3,r^2,hat k
Agora omega = dfrac2piT = dfrac2pi2,0 = pi rad/s e r=3,00 m, então
vec v times vec a = l(pir)^3,(3)^2,hat k = 9,pi^3,hat k l(m^2/s^3r)

Passo 4

Cálculo de vec r times vec a.
Como vec a é paralelo (anti-paralelo) a vec r em MCU ( vec a=-omega^2vec r), temos
vec r times vec a = vec r timesl(-omega^2,vec rr) = vec 0

Resposta

a) vec vcdotvec a = 0
b) vec vtimesvec a = 9,pi^3,hat k l(m^2/s^3r)
c) vec rtimesvec a = vec 0

Exercícios relacionados