QUESTÃO 6:
Uma partícula de massa
se movimenta dentro de uma caixa tridimensional de lados
y
. Se o potencial é zero dentro da caixa e infinito afora, encontre as autofunções e os autovalores.
Se a caixa do problema anterior é cubica de lado
. (a) Encontre as autofunções e os autovalores. (b) Qual é a energia do estado fundamental do sistema? (c) Qual é a degenerescência do primeiro e segundo estado excitado?
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa
confinada numa “caixa” tridimensional cujos lados têm comprimentos
,
e
. O potencial é
Queremos achar as autofunções e autovalores da equação de Schrödinger independente do tempo, usando separação de variáveis e as condições de contorno de poço infinito.
Passo 2
Adotando a forma separável
a equação de Schrödinger
se separa em três equações unidimensionais
com
. As condições de contorno
(e análogas para
e
) levam às soluções
onde
.
Passo 3
Os autovalores correspondentes são
Assim obtivemos as autofunções e os autovalores para a caixa retangular.
Passo 4
Agora, se a caixa é cúbica de lado
(ou seja,
), as soluções ficam
Isto responde o item (a).
Passo 5
O estado fundamental corresponde a
, de modo que
Isto responde o item (b).
Passo 6
Para achar a degenerescência dos primeiros excitados, comparamos as somas
:
- Estado fundamental: soma
. - Primeiro excitado: soma mínima acima de 3 é
. As permutações de são 3, logo degenerescência = 3. - Segundo excitado: soma mínima acima de 6 é
. As permutações de também são 3, logo degenerescência = 3.
Resposta
(a)
(b)
(c)
A degenerescência do primeiro estado excitado é 3, e a do segundo excitado também é 3.
A degenerescência do primeiro estado excitado é 3, e a do segundo excitado também é 3.