QUESTÃO 6:

Uma partícula de massa m se movimenta dentro de uma caixa tridimensional de lados a, b y c. Se o potencial é zero dentro da caixa e infinito afora, encontre as autofunções e os autovalores.
Se a caixa do problema anterior é cubica de lado a. (a) Encontre as autofunções e os autovalores. (b) Qual é a energia do estado fundamental do sistema? (c) Qual é a degenerescência do primeiro e segundo estado excitado?

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m confinada numa “caixa” tridimensional cujos lados têm comprimentos a, b e c. O potencial é
V(x,y,z)= \begin{cases} 0, & 0<x<a,\;0<y<b,\;0<z<c,\\\ \infty, & \text{fora dessa região.} \end{cases}ã
Queremos achar as autofunções e autovalores da equação de Schrödinger independente do tempo, usando separação de variáveis e as condições de contorno de poço infinito.

Passo 2

Adotando a forma separável
\Psi(x,y,z)=X(x)\,Y(y)\,Z(z),
a equação de Schrödinger
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi=E\,\Psi
se separa em três equações unidimensionais
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2X}{dx^2}=E_x\,X,\quad -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Y}{dy^2}=E_y\,Y,\quad -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Z}{dz^2}=E_z\,Z,
com E=E_x+E_y+E_z. As condições de contorno X(0)=X(a)=0 (e análogas para Y e Z) levam às soluções
X_{n_x}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\biggl(\frac{n_x\pi x}{a}\biggr),\quad Y_{n_y}(y)=\sqrt{\frac{2}{b}}\sin\!\biggl(\frac{n_y\pi y}{b}\biggr),\quad Z_{n_z}(z)=\sqrt{\frac{2}{c}}\sin\!\biggl(\frac{n_z\pi z}{c}\biggr),
onde n_x,n_y,n_z\in\mathbb{N}^+.

Passo 3

Os autovalores correspondentes são
E_{n_x,n_y,n_z} =\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\Bigl(\frac{n_x^2}{a^2}+\frac{n_y^2}{b^2}+\frac{n_z^2}{c^2}\Bigr).
Assim obtivemos as autofunções e os autovalores para a caixa retangular.

Passo 4

Agora, se a caixa é cúbica de lado a (ou seja, a=b=c), as soluções ficam
\Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z) =\frac{2\sqrt{2}}{a^{3/2}} \sin\!\bigl(\tfrac{n_x\pi x}{a}\bigr) \sin\!\bigl(\tfrac{n_y\pi y}{a}\bigr) \sin\!\bigl(\tfrac{n_z\pi z}{a}\bigr),
E_{n_x,n_y,n_z} =\frac{\hbar^2\pi^2}{2m\,a^2}\,(n_x^2+n_y^2+n_z^2).
Isto responde o item (a).

Passo 5

O estado fundamental corresponde a n_x=n_y=n_z=1, de modo que
E_{1,1,1} =\frac{\hbar^2\pi^2}{2m\,a^2}(1^2+1^2+1^2) =3\,\frac{\hbar^2\pi^2}{2m\,a^2}.
Isto responde o item (b).

Passo 6

Para achar a degenerescência dos primeiros excitados, comparamos as somas n_x^2+n_y^2+n_z^2:
  • Estado fundamental: soma =1+1+1=3.
  • Primeiro excitado: soma mínima acima de 3 é 1^2+1^2+2^2=6. As permutações de (1,1,2) são 3, logo degenerescência = 3.
  • Segundo excitado: soma mínima acima de 6 é 1^2+2^2+2^2=9. As permutações de (1,2,2) também são 3, logo degenerescência = 3.

Resposta

(a)
\Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=\frac{2\sqrt{2}}{a^{3/2}} \sin\!\Bigl(\tfrac{n_x\pi x}{a}\Bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{n_y\pi y}{a}\Bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{n_z\pi z}{a}\Bigr), \quad E_{n_x,n_y,n_z} =\frac{\hbar^2\pi^2}{2m\,a^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2).
(b)
E_{\rm fund} =3\,\frac{\hbar^2\pi^2}{2m\,a^2}.
(c)
A degenerescência do primeiro estado excitado é 3, e a do segundo excitado também é 3.

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