(2,0 pt) Ao furar um buraco com diâmetro de 12 mm com uma broca de uma furadeira elétrica, o manual do fabricante recomenda uma velocidade de operação de 1250 \mathrm{rev} / \mathrm{min}. (a) Qual a velocidade linear na superfície da broca nesta rotação? Se a broca possui massa de 50 g , calcule (b) o momento de inércia e (c) o momento angular da broca na rotação recomendada.

Passo 1

O enunciado descreve uma broca de diâmetro 12\text{ mm} girando a 1250 rev/min. Precisamos usar:
– Conversão de revoluções por minuto para rad/s;
– Relação entre velocidade angular \omega e velocidade linear de ponta v;
– Fórmula do momento de inércia de um cilindro sólido de massa M e raio R;
– Definição de momento angular L=I\,\omega.

Passo 2

Primeiro converto as grandezas conhecidas para o SI:
M = 50\text{ g} = 0{,}05\text{ kg},\quad R = \frac{12\text{ mm}}{2} = 6\times10^{-3}\text{ m}.
A frequência em rev/s é
f = \frac{1250}{60}\approx20{,}83\\ (\text{rev/s}).
A velocidade angular é
\omega = 2\pi f = 2\pi\times20{,}83\approx130{,}9
portanto \omega\approx130{,}9\\ \text{rad/s}.
A velocidade linear na periferia da broca vale
v = \omega\,R = 130{,}9\times6\times10^{-3}\approx0{,}785
logo v\approx0{,}785\\ \text{m/s}.

Passo 3

Para um cilindro sólido girando em seu eixo,
I = \tfrac12\,M\,R^2 = \tfrac12\times0{,}05\times(6\times10^{-3})^2 =9{,}0\times10^{-7}.
Assim I = 9{,}0\times10^{-7}\\ \text{kg\cdotm}^2.

Passo 4

O momento angular da broca é
L = I\,\omega = 9{,}0\times10^{-7}\times130{,}9\approx1{,}18\times10^{-4}.
Portanto L\approx1{,}18\times10^{-4}\\ \text{kg\cdotm}^2/\text{s}.

Resposta

(a) v\approx0{,}785\\ \text{m/s}
(b) I=9{,}0\times10^{-7}\\ \text{kg\cdotm}^2
(c) L\approx1{,}18\times10^{-4}\\ \text{kg\cdotm}^2/\text{s}

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