( \mathbf{2 , 0 ~ p t} ) Um objeto de 10 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com \mathrm{k}=800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O objeto é deslocado horizontalmente 60 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na direção da posição de equilíbrio. Encontre (a) a amplitude do movimento e (b) a energia mecânica total do sistema.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples (MHS) de uma massa m=10\:\mathrm{kg} presa a uma mola de constante elástica k=800\:\mathrm{N/m}. A massa é inicialmente deslocada x_{0}=0,60\:\mathrm{m} da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial v_{0}=10\:\mathrm{m/s} em direção ao ponto de equilíbrio. Vamos usar conservação de energia mecânica e a relação entre energia total e amplitude para encontrar (a) a amplitude A e (b) a energia mecânica total E.

Passo 2

Para caracterizar o MHS, calculamos a frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{10}} = \sqrt{80}\approx 8,94\:\mathrm{rad/s}.

Passo 3

Como não há atrito, a energia mecânica total E se conserva e, no instante inicial, é a soma da energia cinética com a energia potencial elástica:
E = \frac12\,m\,v_{0}^{2} + \frac12\,k\,x_{0}^{2}.
Substituindo os valores:
E = \frac12\cdot10\cdot(10)^{2} + \frac12\cdot800\cdot(0,60)^{2} = 500 + 144 = 644\:\mathrm{J}.

Passo 4

A energia total também pode ser escrita em função da amplitude A como
E = \frac12\,k\,A^{2}.
Isolando A:
A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot644}{800}} = \sqrt{1,61} \approx 1,27\:\mathrm{m}.

Resposta

(a) A\approx1,27\:\mathrm{m}.
(b) E=644\:\mathrm{J}.

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