Duas cascas condutoras esféricas de raios r_{A} e r_{B} estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais V_{A} e V_{B}, respectivamente. Se r_{B}>r_{A}, determine o potencial entre r_{A}<r<r_{B}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas cascas condutoras esféricas concêntricas com raios \,r_{A} e \,r_{B} (com \,r_{B}>r_{A}) e diz que as superfícies estão mantidas nos potenciais \,V_{A} e \,V_{B}, respectivamente. A pergunta é: determinar o potencial elétrico \,V(r) na região entre as superfícies, isto é para \,r_{A}<r<r_{B}.
Informações relevantes dadas:
  • Raios: \,r_{A} e \,r_{B} com \,r_{B}>r_{A}.
  • Potenciais nas superfícies: \,V(r_{A})=V_{A} e \,V(r_{B})=V_{B}.
  • Quer-se \,V(r) para \,r_{A}<r<r_{B}.

Passo 2

Raciocínio físico e equação a usar. Entre as cascas não há carga volumétrica (região livre de cargas) e o sistema é esfericamente simétrico, logo o potencial depende apenas de \,r. Nessas condições o potencial satisfaz a equação de Laplace em coordenadas esféricas reduzida para dependência radial:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=0.
Esta é uma equação diferencial ordinária para \,V(r). Vou resolver essa EDO passo a passo (é uma derivação curta e importante para entender o formato da solução).

Passo 3

Integração da equação de Laplace: multiplico ambos os lados por \,r^{2} e integro uma vez em relação a \,r:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\frac{dV}{dr}=K,
onde \,K é constante de integração. Agora isolamos \,dV/dr:
\frac{dV}{dr}=\frac{K}{r^{2}}.
Integramos novamente:
V(r)=\int \frac{K}{r^{2}}\,dr = -\frac{K}{r}+C,
onde \,C é outra constante de integração. Reescrevendo com constantes mais usuais, temos a forma geral da solução:
V(r)=A+\frac{B}{r},
com \,A e \,B constantes a determinar pelas condições de contorno. É importante entender: essa forma \,A+B/r é típica de problemas esféricos sem carga na região considerada — é assim que o potencial se comporta.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para achar \,A e \,B. Temos
V(r_{A})=V_{A}=A+\frac{B}{r_{A}},
V(r_{B})=V_{B}=A+\frac{B}{r_{B}}.
Subtraindo a segunda da primeira para eliminar \,A:
V_{A}-V_{B}=B\!\left(\frac{1}{r_{A}}-\frac{1}{r_{B}}\right).
Isolando \,B:
B=\frac{V_{A}-V_{B}}{\dfrac{1}{r_{A}}-\dfrac{1}{r_{B}}}.
Simplifico o denominador escrevendo em termos de \,r_{A}r_{B}:
\dfrac{1}{r_{A}}-\dfrac{1}{r_{B}}=\dfrac{r_{B}-r_{A}}{r_{A}r_{B}},
portanto
B=(V_{A}-V_{B})\frac{r_{A}r_{B}}{r_{B}-r_{A}}.
Agora obtenho \,A usando, por exemplo, a primeira condição:
A=V_{A}-\frac{B}{r_{A}}.
Substituo o valor de \,B:
\frac{B}{r_{A}}=(V_{A}-V_{B})\frac{r_{A}r_{B}}{r_{B}-r_{A}}\cdot\frac{1}{r_{A}} =(V_{A}-V_{B})\frac{r_{B}}{r_{B}-r_{A}}.
Logo
A=V_{A}-(V_{A}-V_{B})\frac{r_{B}}{r_{B}-r_{A}}.
Faço a simplificação algébrica do numerador (colocando sobre o mesmo denominador \,r_{B}-r_{A}):
A=\frac{V_{A}(r_{B}-r_{A})-(V_{A}-V_{B})r_{B}}{r_{B}-r_{A}} =\frac{V_{B}r_{B}-V_{A}r_{A}}{r_{B}-r_{A}}.

Passo 5

Agora reúno \,A e \,B na expressão geral \,V(r)=A+B/r. Substituindo os valores encontrados:
V(r)=\frac{V_{B}r_{B}-V_{A}r_{A}}{r_{B}-r_{A}} +\frac{(V_{A}-V_{B})\,r_{A}r_{B}}{(r_{B}-r_{A})\,r}, \qquad r_{A}<r<r_{B}.
Essa é a expressão do potencial na região entre as cascas. Como verificação rápida: se \,r=r_{A} a segunda parcela vira (V_{A}-V_{B})r_{B}/(r_{B}-r_{A}) e a soma com a primeira parcela de fato resulta \,V_{A}; e se \,r=r_{B} \,V_{B} — ou seja, satisfaz as condições de contorno.
Também é útil saber o campo elétrico nessa região, obtido por \,E(r)=-dV/dr:
E(r)=\frac{(V_{A}-V_{B})\,r_{A}r_{B}}{(r_{B}-r_{A})\,r^{2}},
direção radial (positivo no sentido de r crescente se \,V_{A}>V_{B}). Isso pode ajudar a interpretar forças ou cargas superficiais nas cascas.

Resposta

V(r)=\frac{V_{B}r_{B}-V_{A}r_{A}}{r_{B}-r_{A}} +\frac{(V_{A}-V_{B})\,r_{A}r_{B}}{(r_{B}-r_{A})\,r},\qquad r_{A}<r<r_{B}.

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