Duas cascas condutoras esféricas de raios
e
estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais
e
, respectivamente. Se
, determine o potencial entre
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas cascas condutoras esféricas concêntricas com raios
e
(com
) e diz que as superfícies estão mantidas nos potenciais
e
, respectivamente. A pergunta é: determinar o potencial elétrico
na região entre as superfícies, isto é para
.
Informações relevantes dadas:
- Raios:
e com . - Potenciais nas superfícies:
e . - Quer-se
para .
Passo 2
Raciocínio físico e equação a usar. Entre as cascas não há carga volumétrica (região livre de cargas) e o sistema é esfericamente simétrico, logo o potencial depende apenas de
. Nessas condições o potencial satisfaz a equação de Laplace em coordenadas esféricas reduzida para dependência radial:
Esta é uma equação diferencial ordinária para
. Vou resolver essa EDO passo a passo (é uma derivação curta e importante para entender o formato da solução).
Passo 3
Integração da equação de Laplace: multiplico ambos os lados por
e integro uma vez em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora isolamos
:
Integramos novamente:
onde
é outra constante de integração. Reescrevendo com constantes mais usuais, temos a forma geral da solução:
com
e
constantes a determinar pelas condições de contorno. É importante entender: essa forma
é típica de problemas esféricos sem carga na região considerada — é assim que o potencial se comporta.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno para achar
e
. Temos
Subtraindo a segunda da primeira para eliminar
:
Isolando
:
Simplifico o denominador escrevendo em termos de
:
portanto
Agora obtenho
usando, por exemplo, a primeira condição:
Substituo o valor de
:
Logo
Faço a simplificação algébrica do numerador (colocando sobre o mesmo denominador
):
Passo 5
Agora reúno
e
na expressão geral
. Substituindo os valores encontrados:
Essa é a expressão do potencial na região entre as cascas. Como verificação rápida: se
a segunda parcela vira
e a soma com a primeira parcela de fato resulta
; e se
dá
— ou seja, satisfaz as condições de contorno.
Também é útil saber o campo elétrico nessa região, obtido por
:
direção radial (positivo no sentido de r crescente se
). Isso pode ajudar a interpretar forças ou cargas superficiais nas cascas.