Questão 2. Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua velocidade no instante t é v(t)=t^{3}+2 t^{2}-5 t+1 (medida em metros por segundo). Encontre o deslocamento da partícula entre 1 e 6 segundos.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula como
v(t)=t^{3}+2t^{2}-5t+1 (em metros por segundo) e pede o deslocamento entre t=1 s e t=6 s.
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo: para achar o deslocamento, basta integrar a velocidade no intervalo dado.

Passo 2

Vamos chamar de F(t) uma antiderivada de v(t), ou seja, uma função cuja derivada seja v(t). \r
Para o polinômio v(t)=t^{3}+2t^{2}-5t+1, temos \r
F(t)=\int\bigl(t^{3}+2t^{2}-5t+1\bigr)\,dt =\frac{t^{4}}{4}+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{5}{2}t^{2}+t + C. \r
Como vamos fazer um cálculo de diferença F(6)-F(1), o C cancela e não precisamos escolhê-lo.

Passo 3

Agora avaliamos F(t) em 6 segundos: \r
F(6) =\frac{6^{4}}{4}+\frac{2}{3}\,6^{3}-\frac{5}{2}\,6^{2}+6 = \frac{1296}{4} + \frac{2}{3}\cdot216 - \frac{5}{2}\cdot36 + 6 = 324 + 144 - 90 + 6 = 384.

Passo 4

Em seguida, avaliamos em 1 segundo: \r
F(1) =\frac{1^{4}}{4}+\frac{2}{3}\,1^{3}-\frac{5}{2}\,1^{2}+1 =\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{5}{2}+1 =\frac{3+8}{12}-\frac{30}{12}+\frac{12}{12} =\frac{11-30+12}{12} =-\frac{7}{12}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o deslocamento \Delta s é \r
\Delta s = F(6)-F(1) =384 - \Bigl(-\tfrac{7}{12}\Bigr) =384 + \frac{7}{12} =\frac{4615}{12}\,\text{m} \approx384{,}5833\,\text{m}.

Resposta

\displaystyle \frac{4615}{12}\text{ m}\approx384{,}58\text{ m}

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