O potencial V_{0} é especificado na superfície de uma esfera oca, de raio R. Encontre o potencial dentro e fora da esfera utilizando a equação de Laplace.

Passo 1

O enunciado diz que a superfície de uma esfera oca de raio R tem o potencial especificado por uma função V_{0} (isto é, o valor do potencial sobre a casca esférica é dado). A tarefa é encontrar o potencial em todo o espaço interno ( r<R) e externo ( r>R) resolvendo a equação de Laplace.
Informações e pedidos claros:
  • Dados: o potencial na superfície da esfera é \;V(R,\theta,\varphi)=V_{0}(\theta,\varphi)\; (pegamos essa condição do enunciado).
  • Procurar: o potencial \;V(r,\theta,\varphi)\; para r<R (dentro) e para r>R (fora), assumindo que a região onde se aplica a equação de Laplace não contém cargas (ou seja, \nabla^{2}V=0 nessas regiões).
  • Condições físicas usuais (implícitas e necessárias para escolher as soluções): o potencial deve ser finito no centro ( r=0) e finito/decrescente no infinito (normalmente assume-se \;V\to 0 quando r\to\infty, a menos que outra condição seja dada). Vou usar essas condições para selecionar as soluções físicas.

Passo 2

Escrevendo a equação de Laplace em coordenadas esféricas e tentando separar variáveis.
A equação de Laplace é
\nabla^{2}V(r,\theta,\varphi)=0.
Em coordenadas esféricas a parte angular aparece naturalmente; então procuramos soluções por separação de variáveis assumindo
V(r,\theta,\varphi)=R(r)\,Y(\theta,\varphi).
Ao separar, obtém-se para a parte angular a equação que leva aos auto-funções angulares chamadas harmônicos esféricos, com um parâmetro de separação que chamamos de \ell(\ell+1). Essa separação dá que a parte angular satisfaz
\mathcal{L}_{\text{ang}}\,Y(\theta,\varphi) = -\ell(\ell+1)Y(\theta,\varphi),
onde as soluções regulares sobre a esfera são os harmônicos esféricos Y_{\ell m}(\theta,\varphi) (com m=-\ell,\dots,\ell). Esses Y_{\ell m} formam uma base ortonormal em L^{2}(S^{2}) (a esfera) e satisfazem a propriedade de ortogonalidade
\int_{S^{2}} Y_{\ell m}(\theta,\varphi)\,Y_{\ell' m'}^{*}(\theta,\varphi)\,d\Omega = \delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'},
onde d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi é o elemento de área na esfera.
Explicando de forma bem prática: qualquer função bem-comportada V_{0}(\theta,\varphi) definida sobre a superfície esférica pode ser expandida numa soma (série) de harmônicos esféricos Y_{\ell m}. Esse é o passo chave para converter a condição de contorno angular numa coleção de condições escalares para os coeficientes.

Passo 3

Resolução da parte radial: formas gerais dos modos radiais.
Após separar, a equação radial associada a cada modo \ell tem solução geral
R_{\ell}(r)=A_{\ell}\, r^{\ell} + B_{\ell}\, r^{-(\ell+1)}.
Interpretando fisicamente:
  • Para a região interna r<R, a solução deve ser finita em r=0. Como termos r^{-(\ell+1)} divergem no ponto r=0 (para todos \ell), devemos eliminar esses termos na solução interna. Logo, para r<R mantemos apenas a parte proporcional a r^{\ell}.
  • Para a região externa r>R, se quisermos potencial que decresça e seja finito no infinito (por exemplo \;V\to 0 quando r\to\infty), devemos eliminar os termos r^{\ell} (que crescem quando \ell\ge 0). Então para r>R mantemos apenas as partes r^{-(\ell+1)}.
Resumo das formas radiais que usaremos:
\text{dentro }(r<R):\quad R_{\ell}(r)\propto r^{\ell}, \qquad \text{fora }(r>R):\quad R_{\ell}(r)\propto r^{-(\ell+1)}.

Passo 4

Expandindo o potencial na base dos harmônicos esféricos e impondo a condição de contorno V(R,\theta,\varphi)=V_{0}(\theta,\varphi).
Primeiro expandimos a função de contorno em harmônicos esféricos:
V_{0}(\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} a_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi),
com os coeficientes dados pela projecção (uso da ortogonalidade):
a_{\ell m}=\int_{S^{2}} V_{0}(\theta,\varphi)\,Y_{\ell m}^{*}(\theta,\varphi)\,d\Omega.
Agora montamos as soluções radialmente apropriadas e exigimos que no raio r=R o potencial coincida com V_{0}.
Solução geral dentro ( r<R) escrevemos como soma dos modos regulares:
V_{\mathrm{in}}(r,\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} A_{\ell m}\, r^{\ell}\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi).
No valor r=R isso deve ser igual a V_{0}, portanto
\sum_{\ell,m} A_{\ell m}\,R^{\ell}\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi)=\sum_{\ell,m} a_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi).
Pelo teorema da unicidade da expansão em harmônicos esféricos, os coeficientes correspondentes devem coincidir, daí
A_{\ell m} = \frac{a_{\ell m}}{R^{\ell}}.
Portanto
V_{\mathrm{in}}(r,\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} a_{\ell m}\left(\frac{r}{R}\right)^{\ell} Y_{\ell m}(\theta,\varphi).

Passo 5

Construindo a solução externa r>R com a condição de decaimento no infinito.
A solução externa toma a forma
V_{\mathrm{out}}(r,\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} B_{\ell m}\, r^{-(\ell+1)}\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi).
No contorno r=R deve valer V_{\mathrm{out}}(R,\theta,\varphi)=V_{0}(\theta,\varphi), então
\sum_{\ell,m} B_{\ell m}\,R^{-(\ell+1)}\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi)=\sum_{\ell,m} a_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi).
Igualando coeficientes obtemos
B_{\ell m} = a_{\ell m}\,R^{\ell+1}.
Logo
V_{\mathrm{out}}(r,\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} a_{\ell m}\left(\frac{R}{r}\right)^{\ell+1} Y_{\ell m}(\theta,\varphi).

Passo 6

Recapitulando e dando a fórmula explícita para os coeficientes e o elemento de área.
  • Os coeficientes de expansão do potencial de contorno são
a_{\ell m}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} V_{0}(\theta,\varphi)\,Y_{\ell m}^{*}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
  • O potencial dentro ( r<R) é
V_{\mathrm{in}}(r,\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} a_{\ell m}\left(\frac{r}{R}\right)^{\ell} Y_{\ell m}(\theta,\varphi).
  • O potencial fora ( r>R) é
V_{\mathrm{out}}(r,\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} a_{\ell m}\left(\frac{R}{r}\right)^{\ell+1} Y_{\ell m}(\theta,\varphi).
Essas fórmulas são a solução geral. A ideia operacional para aplicar na prova:
  1. Calcule a_{\ell m} projetando V_{0} nos harmônicos esféricos (usando a integral acima).
  2. Substitua esses a_{\ell m} nas séries de V_{\mathrm{in}} e V_{\mathrm{out}}.
  3. Em muitos casos (por exemplo contornos com simetria azimutal) só alguns \ell,m aparecem, tornando a conta prática.

Passo 7

Caso especial simples (simetria azimutal, sem dependência de \varphi) — expansão em polinômios de Legendre.
Se V_{0} não depende de \varphi, então só os modos m=0 aparecem e os harmônicos esféricos reduzem a polinômios de Legendre. Escreve-se
V_{0}(\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} v_{\ell}\,P_{\ell}(\cos\theta),
com os coeficientes
v_{\ell}=\frac{2\ell+1}{2}\int_{-1}^{1} V_{0}(\theta(u))\,P_{\ell}(u)\,du,\qquad u=\cos\theta.
As soluções tornam-se
V_{\mathrm{in}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} v_{\ell}\left(\frac{r}{R}\right)^{\ell} P_{\ell}(\cos\theta), \qquad V_{\mathrm{out}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} v_{\ell}\left(\frac{R}{r}\right)^{\ell+1} P_{\ell}(\cos\theta).
Este caso é útil porque a integral para v_{\ell} é de uma dimensão e frequentemente calculável à mão em provas.

Resposta

V_{\mathrm{in}}(r,\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} a_{\ell m}\left(\frac{r}{R}\right)^{\ell} Y_{\ell m}(\theta,\varphi)
V_{\mathrm{out}}(r,\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} a_{\ell m}\left(\frac{R}{r}\right)^{\ell+1} Y_{\ell m}(\theta,\varphi)
onde
a_{\ell m}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} V_{0}(\theta,\varphi)\,Y_{\ell m}^{*}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

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