O potencial
é especificado na superfície de uma esfera oca, de raio R. Encontre o potencial dentro e fora da esfera utilizando a equação de Laplace.
Passo 1
O enunciado diz que a superfície de uma esfera oca de raio
tem o potencial especificado por uma função
(isto é, o valor do potencial sobre a casca esférica é dado). A tarefa é encontrar o potencial em todo o espaço interno (
) e externo (
) resolvendo a equação de Laplace.
Informações e pedidos claros:
- Dados: o potencial na superfície da esfera é
(pegamos essa condição do enunciado). - Procurar: o potencial
para (dentro) e para (fora), assumindo que a região onde se aplica a equação de Laplace não contém cargas (ou seja, nessas regiões). - Condições físicas usuais (implícitas e necessárias para escolher as soluções): o potencial deve ser finito no centro (
) e finito/decrescente no infinito (normalmente assume-se quando , a menos que outra condição seja dada). Vou usar essas condições para selecionar as soluções físicas.
Passo 2
Escrevendo a equação de Laplace em coordenadas esféricas e tentando separar variáveis.
A equação de Laplace é
Em coordenadas esféricas a parte angular aparece naturalmente; então procuramos soluções por separação de variáveis assumindo
Ao separar, obtém-se para a parte angular a equação que leva aos auto-funções angulares chamadas harmônicos esféricos, com um parâmetro de separação que chamamos de
. Essa separação dá que a parte angular satisfaz
onde as soluções regulares sobre a esfera são os harmônicos esféricos
(com
). Esses
formam uma base ortonormal em
(a esfera) e satisfazem a propriedade de ortogonalidade
onde
é o elemento de área na esfera.
Explicando de forma bem prática: qualquer função bem-comportada
definida sobre a superfície esférica pode ser expandida numa soma (série) de harmônicos esféricos
. Esse é o passo chave para converter a condição de contorno angular numa coleção de condições escalares para os coeficientes.
Passo 3
Resolução da parte radial: formas gerais dos modos radiais.
Após separar, a equação radial associada a cada modo
tem solução geral
Interpretando fisicamente:
- Para a região interna
, a solução deve ser finita em . Como termos divergem no ponto (para todos ), devemos eliminar esses termos na solução interna. Logo, para mantemos apenas a parte proporcional a . - Para a região externa
, se quisermos potencial que decresça e seja finito no infinito (por exemplo quando ), devemos eliminar os termos (que crescem quando ). Então para mantemos apenas as partes .
Resumo das formas radiais que usaremos:
Passo 4
Expandindo o potencial na base dos harmônicos esféricos e impondo a condição de contorno
.
Primeiro expandimos a função de contorno em harmônicos esféricos:
com os coeficientes dados pela projecção (uso da ortogonalidade):
Agora montamos as soluções radialmente apropriadas e exigimos que no raio
o potencial coincida com
.
Solução geral dentro (
) escrevemos como soma dos modos regulares:
No valor
isso deve ser igual a
, portanto
Pelo teorema da unicidade da expansão em harmônicos esféricos, os coeficientes correspondentes devem coincidir, daí
Portanto
Passo 5
Construindo a solução externa
com a condição de decaimento no infinito.
A solução externa toma a forma
No contorno
deve valer
, então
Igualando coeficientes obtemos
Logo
Passo 6
Recapitulando e dando a fórmula explícita para os coeficientes e o elemento de área.
- Os coeficientes de expansão do potencial de contorno são
- O potencial dentro (
) é
- O potencial fora (
) é
Essas fórmulas são a solução geral. A ideia operacional para aplicar na prova:
- Calcule
projetando nos harmônicos esféricos (usando a integral acima). - Substitua esses
nas séries de e . - Em muitos casos (por exemplo contornos com simetria azimutal) só alguns
aparecem, tornando a conta prática.
Passo 7
Caso especial simples (simetria azimutal, sem dependência de
) — expansão em polinômios de Legendre.
Se
não depende de
, então só os modos
aparecem e os harmônicos esféricos reduzem a polinômios de Legendre. Escreve-se
com os coeficientes
As soluções tornam-se
Este caso é útil porque a integral para
é de uma dimensão e frequentemente calculável à mão em provas.
Resposta
onde