QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada f^{\prime}(z).
w=\overline{e^{z}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f(z)=\overline{e^{z}}
é analítica e, em caso positivo, em que domínio e qual é f'(z). Vamos usar as equações de Cauchy–Riemann, que são condições necessárias e suficientes para que uma função u(x,y)+i\,v(x,y) seja holomorfa num domínio.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy. Então
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\bigl(\cos y+i\sin y\bigr)
e
f(z)=\overline{e^{z}} =e^{x}\bigl(\cos y-i\sin y\bigr) =e^{x}\cos y\;-\;i\,e^{x}\sin y.
Dessa forma identificamos
u(x,y)=e^{x}\cos y, \quad v(x,y)=-e^{x}\sin y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u_{x}=e^{x}\cos y, \quad u_{y}=-e^{x}\sin y,
v_{x}=-e^{x}\sin y, \quad v_{y}=-e^{x}\cos y.

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_{x}=v_{y} \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\cos y=-e^{x}\cos y \quad\Longrightarrow\quad \cos y=0,
u_{y}=-\,v_{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{x}\sin y=-\bigl(-e^{x}\sin y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad -\,\sin y=\sin y \quad\Longrightarrow\quad \sin y=0.
Não existe y que simultaneamente satisfaça \cos y=0 e \sin y=0. Logo, não há região aberta onde ambas as condições sejam válidas.

Resposta

A função f(z)=\overline{e^{z}} não é analítica em nenhum domínio do plano complexo.

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