QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada f^{\prime}(z).
w=\frac{1}{z}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a analiticidade da função
f(z)=\frac{1}{z}
usando as equações de Cauchy–Riemann, determinar o domínio onde ela é analítica e, em caso afirmativo, encontrar f'(z). Vamos precisar expressar f em termos de x e y, checar as derivadas parciais de u e v, confirmar as condições de Cauchy–Riemann e, por fim, calcular f'(z).

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
f(z)=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}.
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u(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \qquad v(x,y)=-\,\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
u_{x} =\frac{(x^{2}+y^{2})-2x\cdot x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad u_{y} =-\,\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
v_{x} = -\,\frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad v_{y} =-\,\frac{(x^{2}+y^{2})-2y\cdot y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\,\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_{x}=v_{y}, \qquad u_{y}=-\,v_{x}.
Comparando, vemos que
u_{x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\,\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =v_{y},
u_{y}=-\,\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\,\biggl(\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\biggr) =-\,v_{x}.
Portanto, as condições são satisfeitas sempre que x^{2}+y^{2}\neq 0.

Passo 4

Concluímos que f(z)=1/z é analítica para todo z tal que z\neq 0. Em linguagem de conjuntos, o domínio de analiticidade é
\mathbb{C}\setminus\{0\}.

Passo 5

Para obter f'(z), podemos usar
f'(z)=u_{x}+i\,v_{x}.
Já temos
u_{x}+i\,v_{x} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +i\,\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)-i\,2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\,\frac{(x+iy)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\,\frac{z^{2}}{|z|^{4}} =-\frac{1}{z^{2}}.

Resposta

A função f(z)=1/z é analítica em \mathbb{C}\setminus\{0\} e
f'(z)=-\frac{1}{z^{2}}.

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