QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a analiticidade da função
usando as equações de Cauchy–Riemann, determinar o domínio onde ela é analítica e, em caso afirmativo, encontrar
. Vamos precisar expressar
em termos de
e
, checar as derivadas parciais de
e
, confirmar as condições de Cauchy–Riemann e, por fim, calcular
.
Passo 2
Escrevendo
, temos
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Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Comparando, vemos que
Portanto, as condições são satisfeitas sempre que
.
Passo 4
Concluímos que
é analítica para todo
tal que
. Em linguagem de conjuntos, o domínio de analiticidade é
Passo 5
Para obter
, podemos usar
Já temos
Resposta
A função
é analítica em
e