QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada f^{\prime}(z).
w=e^{-y}(\cos x-i \sin x)

Passo 1

O enunciado dá a função
w = e^{-y}\bigl(\cos x - i\sin x\bigr)
em coordenadas z = x + i y. Pede para verificar se f(z)=w é analítica (isto é, satisfaz as equações de Cauchy-Riemann) e, em caso afirmativo, calcular f'(z).

Passo 2

Separamos parte real e imaginária:
u(x,y) = e^{-y}\cos x, \quad v(x,y) = -\,e^{-y}\sin x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
u_x = -\,e^{-y}\sin x, \quad u_y = -\,e^{-y}\cos x,
v_x = -\,e^{-y}\cos x, \quad v_y = \;\;e^{-y}\sin x.

Passo 4

As equações de Cauchy-Riemann exigem
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Isto dá
-\,e^{-y}\sin x = e^{-y}\sin x \quad\Longrightarrow\quad \sin x = 0,
-\,e^{-y}\cos x = -\bigl(-\,e^{-y}\cos x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \cos x = 0.

Passo 5

Não existe valor de x que satisfaça simultaneamente \sin x=0 e \cos x=0. Portanto as equações de Cauchy-Riemann não se cumprem em nenhum ponto do plano.

Resposta

A função não é analítica em nenhum domínio do plano complexo e, portanto, f'(z) não existe em nenhum ponto.

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