QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada
.
Passo 1
O enunciado dá a função
em coordenadas
. Pede para verificar se
é analítica (isto é, satisfaz as equações de Cauchy-Riemann) e, em caso afirmativo, calcular
.
Passo 2
Separamos parte real e imaginária:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
As equações de Cauchy-Riemann exigem
Isto dá
Passo 5
Não existe valor de
que satisfaça simultaneamente
e
. Portanto as equações de Cauchy-Riemann não se cumprem em nenhum ponto do plano.
Resposta
A função não é analítica em nenhum domínio do plano complexo e, portanto,
não existe em nenhum ponto.