Questão 3. A partir da relação integral para o potencial complexo, desenvolva expressões integrais para o potencial de velocidade, a função corrente e as componentes de velocidade horizontal e vertical devido a uma lâmina de dipolo m(x), localizada ao longo do eixo horizontal entre a origem e x=c, sendo c uma constante.

Passo 1

O enunciado pede o potencial de velocidade \varphi, a função corrente \psi e as componentes u e v de um escoamento 2D gerado por uma lâmina de dipolos de densidade m(x) situada sobre o eixo real entre x=0 e x=c. Vamos usar a representação via potencial complexo
W(z)=\varphi(x,y)+\mathrm{i}\,\psi(x,y),
onde z=x+\mathrm{i}y, e a fórmula do dipolo distribuído em 2D:
W(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\frac{m(s)}{\,z-s\,}\,\mathrm{d}s.

Passo 2

Escrevendo z-s=(x-s)+\mathrm{i}y e usando
\frac{1}{\,z-s\,} =\frac{(x-s)-\mathrm{i}y}{(x-s)^{2}+y^{2}},
temos
W(z) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}m(s)\, \frac{(x-s)-\mathrm{i}y}{(x-s)^{2}+y^{2}}\, \mathrm{d}s.

Passo 3

Separando parte real e imaginária, obtém-se
\varphi(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c} m(s)\,\frac{x-s}{(x-s)^{2}+y^{2}}\, \mathrm{d}s,
\psi(x,y) =-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c} m(s)\,\frac{y}{(x-s)^{2}+y^{2}}\, \mathrm{d}s.

Passo 4

As componentes de velocidade seguem de u=\partial\varphi/\partial x e v=\partial\varphi/\partial y. Calculando as derivadas sob o sinal de integral:
u(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c} m(s)\, \frac{y^{2}-(x-s)^{2}} {\bigl[(x-s)^{2}+y^{2}\bigr]^{2}}\, \mathrm{d}s,
v(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c} m(s)\, \frac{-2\,y\,(x-s)} {\bigl[(x-s)^{2}+y^{2}\bigr]^{2}}\, \mathrm{d}s.

Resposta

\displaystyle W(z)=\varphi+\mathrm{i}\psi=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\frac{m(s)}{z-s}\,\mathrm{d}s \displaystyle \varphi(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}m(s)\,\frac{x-s}{(x-s)^{2}+y^{2}}\,\mathrm{d}s \displaystyle \psi(x,y)=-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}m(s)\,\frac{y}{(x-s)^{2}+y^{2}}\,\mathrm{d}s \displaystyle u(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}m(s)\,\frac{y^{2}-(x-s)^{2}}{\bigl[(x-s)^{2}+y^{2}\bigr]^{2}}\,\mathrm{d}s \displaystyle v(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}m(s)\,\frac{-2\,y\,(x-s)}{\bigl[(x-s)^{2}+y^{2}\bigr]^{2}}\,\mathrm{d}s

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