Questão 1. A partir da relação integral para o potencial complexo, desenvolva expressões integrais para o potencial de velocidade, a função corrente e as componentes de velocidade horizontal e vertical devido a uma lâmina de fonte \sigma(x), localizada ao longo do eixo horizontal entre a origem e x=c, sendo c uma constante.

Passo 1

O enunciado pede que a partir da fórmula integral do potencial complexo de uma lâmina de fonte de densidade \sigma(x') distribuída no eixo x de 0 a c, obtenhamos expressões integrais para
  1. o potencial de velocidade \varphi(x,y),
  2. a função corrente \psi(x,y),
  3. as componentes de velocidade u(x,y) e v(x,y).
O conteúdo envolvido é teoria de potencial em escoamentos bidimensionais: o potencial complexo
W(z)=\varphi(x,y)+\iu\,\psi(x,y)
e a relação
\frac{\dif W}{\dif z}=u-\iu\,v.

Passo 2

Escrevemos o potencial complexo como integral de fontes elemantares. Chamando z=x+\iu y e usando variável de integração x', temos
W(z) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x')\,\ln\bigl(z - x'\bigr)\,\dif x'.
Neste integral, \ln(z-x') gera a parte real (potencial) e a parte imaginária (função corrente).

Passo 3

Para separar \varphi e \psi usamos
\ln\bigl(z-x'\bigr) =\ln\bigl|z-x'\bigr|+\iu\,\arg\bigl(z-x'\bigr).
Logo
\varphi(x,y) =\Re\bigl\{W(z)\bigr\} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x')\,\ln\sqrt{(x-x')^{2}+y^{2}}\;\dif x',
\psi(x,y) =\Im\bigl\{W(z)\bigr\} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x')\,\arg\bigl(x-x'+\iu\,y\bigr)\;\dif x'.
Podemos simplificar \ln\sqrt{\cdot}=\tfrac12\ln(\cdot), mas a forma acima já explicita a ideia.

Passo 4

As componentes de velocidade vêm de
\frac{\dif W}{\dif z} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\frac{\sigma(x')}{z-x'}\,\dif x' =u-\iu\,v.
Escrevendo z-x'=(x-x')+\iu y e usando
\frac{1}{(x-x')+\iu y} =\frac{x-x'-\iu y}{(x-x')^{2}+y^{2}},
obtemos
\frac{\dif W}{\dif z} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x')\, \frac{x-x'-\iu y}{(x-x')^{2}+y^{2}} \,\dif x'.

Passo 5

Identificando parte real e imaginária, surge
u(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x') \;\frac{x-x'}{(x-x')^{2}+y^{2}}\;\dif x',
v(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x') \;\frac{y}{(x-x')^{2}+y^{2}}\;\dif x'.

Resposta

\varphi(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x')\, \ln\!\sqrt{(x-x')^{2}+y^{2}} \;\dif x',
\psi(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x')\, \arg\bigl(x-x'+\iu y\bigr) \;\dif x',
u(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x') \;\frac{x-x'}{(x-x')^{2}+y^{2}}\;\dif x',
v(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\sigma(x') \;\frac{y}{(x-x')^{2}+y^{2}}\;\dif x'.

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