Questão 2. A partir da relação integral para o potencial complexo, desenvolva expressões integrais para o potencial de velocidade, a função corrente e as componentes de velocidade horizontal e vertical devido a uma lâmina de vórtice \gamma(x), localizada ao longo do eixo horizontal entre a origem e x=c, sendo c uma constante.

Passo 1

O enunciado trata de um filme de vorticidade (vortex sheet) de intensidade \gamma(\xi) ao longo do eixo real de \xi=0 até \xi=c. Em fluxo potencial bidimensional podemos usar o potencial complexo
w(z)=\varphi(x,y)+\mathrm{i}\,\psi(x,y) =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_{0}^{c}\gamma(\xi)\,\ln\bigl(z-\xi\bigr)\,\mathrm{d}\xi
com z=x+\mathrm{i}y. A partir daí vamos extrair \varphi, \psi e as componentes u e v.

Passo 2

Escrevendo
\ln(z-\xi)=\ln\bigl|z-\xi\bigr|+\mathrm{i}\,\Arg(z-\xi),
temos
w(z) =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{c}\gamma(\xi)\bigl[\ln|z-\xi|+\mathrm{i}\,\Arg(z-\xi)\bigr]\mathrm{d}\xi
e, separando parte real e imaginária,
\varphi(x,y) =\Re\bigl[w(z)\bigr] =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\gamma(\xi)\,\Arg\bigl(x-\xi,y\bigr)\,\mathrm{d}\xi
\psi(x,y) =\Im\bigl[w(z)\bigr] =-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\gamma(\xi)\,\ln\bigl|z-\xi\bigr|\,\mathrm{d}\xi
e, usando \Arg(x-\xi,y)=\arctan\frac{y}{x-\xi} e \ln|z-\xi|=\tfrac12\ln\bigl[(x-\xi)^2+y^2\bigr], resulta
\varphi(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\gamma(\xi)\,\arctan\!\frac{y}{\,x-\xi\,}\,\mathrm{d}\xi,
\psi(x,y) =-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{c}\gamma(\xi)\,\ln\bigl[(x-\xi)^2+y^2\bigr]\,\mathrm{d}\xi.

Passo 3

Para obter as componentes de velocidade usamos
\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z} =u-\mathrm{i}v =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_{0}^{c}\frac{\gamma(\xi)}{\,z-\xi\,}\,\mathrm{d}\xi.
Escrevendo 1/(z-\xi)=(x-\xi-\mathrm{i}y)/\bigl[(x-\xi)^2+y^2\bigr] e fazendo as decomposições, encontramos
u(x,y) =\Re\bigl[w'(z)\bigr] =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c} \gamma(\xi)\,\frac{y}{(x-\xi)^2+y^2}\,\mathrm{d}\xi,
v(x,y) =-\Im\bigl[w'(z)\bigr] =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c} \gamma(\xi)\,\frac{x-\xi}{(x-\xi)^2+y^2}\,\mathrm{d}\xi.

Resposta

\varphi(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\gamma(\xi)\,\arctan\!\frac{y}{\,x-\xi\,}\,\mathrm{d}\xi,
\psi(x,y) =-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{c}\gamma(\xi)\,\ln\bigl[(x-\xi)^2+y^2\bigr]\,\mathrm{d}\xi,
u(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\gamma(\xi)\,\frac{y}{(x-\xi)^2+y^2}\,\mathrm{d}\xi,
v(x,y) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{c}\gamma(\xi)\,\frac{x-\xi}{(x-\xi)^2+y^2}\,\mathrm{d}\xi.

Exercícios relacionados