Questão 5. Passe para coordenadas polares e calcule:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx
sobre a região
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le1\}.
O método sugerido é a mudança para coordenadas polares, usando
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
além de reescrever \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.

Passo 2

Em coordenadas polares temos\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
A borda y=0 corresponde a \theta=0, a reta y=x a \theta=\pi/4 e a reta x=1 a
r\cos\theta=1\quad\Longrightarrow\quad r=\frac{1}{\cos\theta}=\operatorname{sec}\theta.
Logo \theta\in[0,\pi/4] e r\in[0,\operatorname{sec}\theta].

Passo 3

Substituindo na integral,
I =\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\operatorname{sec}\theta}r\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\operatorname{sec}\theta}r^{2}\,dr\,d\theta.
Integrando em r:
\int_{0}^{\operatorname{sec}\theta}r^{2}\,dr =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\operatorname{sec}\theta} =\frac{\operatorname{sec}^{3}\theta}{3},
logo
I=\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta
fazemos integração por partes com u=\operatorname{sec}\theta, dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, obtendo
\int\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|\Bigr)+C.
Assim,
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl[\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\Bigr]_{0}^{\pi/4}.

Passo 5

Em \theta=\pi/4: \operatorname{sec}\theta=\sqrt{2}, \tan\theta=1, logo \operatorname{sec}\theta\tan\theta=\sqrt{2} e \ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)=\ln(1+\sqrt{2}).
Em \theta=0: \operatorname{sec}\theta=1, \tan\theta=0, tudo anula.
Portanto
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\bigr),
e finalmente
I =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\bigr) =\frac{1}{6}\bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\bigr).

Resposta

\frac{1}{6}\bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\bigr)

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