Questão 5. Passe para coordenadas polares e calcule:
\int_{0}^{1} \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{x=0}^{1}\,\int_{y=\,1-\sqrt{1-x^{2}}}^{\,1+\sqrt{1-x^{2}}} x\,y \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
usando coordenadas polares. Vamos identificar a região R dada por esses limites e depois fazer a transformação
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 2

Para cada x\in[0,1], y varia de
y=1-\sqrt{1-x^{2}} \quad\text{até}\quad y=1+\sqrt{1-x^{2}}.é
Isto define o semicírculo de centro (0,1) e raio 1, restrito a x\ge0. Em polares, a condição (x)^{2}+(y-1)^{2}\le1 fica
r^{2}-2r\sin\theta\le0 \quad\Longrightarrow\quad 0\le r\le2\sin\theta.
Além disso x\ge0 implica \cos\theta\ge0 e, para r\ge0 manter r\le2\sin\theta, exige-se \sin\theta\ge0. Logo
\theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr], \quad r\in[0,2\sin\theta].

Passo 3

Em coordenadas polares o integrando e o elemento de área são
x\,y\,\mathrm{d}A = (r\cos\theta)\,(r\sin\theta)\,(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta) = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Assim a integral vira
\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{2\sin\theta} r^{3}\cos\theta\sin\theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{2\sin\theta}r^{3}\,\mathrm{d}r = \left[\tfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2\sin\theta} = \tfrac{(2\sin\theta)^{4}}{4} = 4\sin^{4}\theta.
Multiplicando por \cos\theta\sin\theta obtemos o integrando em \theta:
4\sin^{4}\theta\;\cos\theta\sin\theta = 4\sin^{5}\theta\cos\theta.

Passo 5

Fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4\sin^{5}\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta.
Use u=\sin\theta, \mathrm{d}u=\cos\theta\,\mathrm{d}\theta, com u(0)=0, u(\tfrac{\pi}{2})=1:
\int_{0}^{1}4u^{5}\,\mathrm{d}u = \left[\tfrac{4u^{6}}{6}\right]_{0}^{1} = \tfrac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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