Usando mudança de variáveis, calcule as integrais duplas:
\iint_{D} \sin \left(4 x^{2}+y^{2}\right) d x d y onde D:=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leq 1, y \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}\sin\bigl(4x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy
onde
D=\bigl\{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}\le1,\;y\ge0\bigr\}.
Vamos usar duas mudanças de variável: primeiro uma transformação que torna D num semicírculo, depois coordenadas polares.

Passo 2

Fazemos a mudança
u=2x, \quad v=y.
Então 4x^{2}+y^{2}=u^{2}+v^{2} e o domínio vira
u^{2}+v^{2}\le1, \quad v\ge0,
ou seja, meio disco unitário no plano (u,v). O jacobiano dessa transformação é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}1/2&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =\tfrac12,
logo dx\,dy=\tfrac12\,du\,dv. A integral passa a ser
\iint_{D}\sin(4x^{2}+y^{2})\,dx\,dy =\iint_{u^{2}+v^{2}\le1,\;v\ge0} \sin(u^{2}+v^{2})\;\frac12\,du\,dv.

Passo 3

Agora usamos coordenadas polares em (u,v):
u=r\cos\theta,\quad v=r\sin\theta,
com r\in[0,1] e \theta\in[0,\pi] (meio círculo). O jacobiano é r, então
du\,dv = r\,dr\,d\theta.
A integral fica
\frac12\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1} \sin\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Podemos separar \theta e r:
\frac12 \Bigl(\int_{0}^{\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{1}\sin(r^{2})\,r\,dr\Bigr) =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}\sin(r^{2})\,r\,dr.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{1}\sin(r^{2})\,r\,dr fazemos t=r^{2}, daí dt=2r\,dr e
\int_{0}^{1}\sin(r^{2})\,r\,dr =\frac12\int_{t=0}^{1}\sin t\,dt =\frac12\Bigl[-\cos t\Bigr]_{0}^{1} =\frac12\bigl(1-\cos1\bigr).
Portanto a integral total é
\frac{\pi}{2}\times\frac12\bigl(1-\cos1\bigr) =\frac{\pi\,(1-\cos1)}{4}.

Resposta

\boxed{\frac{\pi\,(1-\cos1)}{4}}.

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