Usando mudança de variáveis, calcule as integrais duplas:
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
Vamos usar duas mudanças de variável: primeiro uma transformação que torna
num semicírculo, depois coordenadas polares.
Passo 2
Fazemos a mudança
Então
e o domínio vira
ou seja, meio disco unitário no plano
. O jacobiano dessa transformação é
logo
. A integral passa a ser
Passo 3
Agora usamos coordenadas polares em
:
com
e
(meio círculo). O jacobiano é
, então
A integral fica
Passo 4
Podemos separar
e
:
Passo 5
Para calcular
fazemos
, daí
e
Portanto a integral total é