Questão 3 - Um engenheiro está testando diferentes modelos de cabos para sustentar uma ponte. O cálculo da resistência envolve resolver a equação:
onde k depende do tipo de material. Determine os valores de k para que a equação tenha:
Nenhuma solução real.
Nenhuma solução real.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
com
sendo um parâmetro que depende do material. A pergunta é: determinar os valores de
para que a equação tenha nenhuma solução real.
Informações relevantes: a equação é do segundo grau em com coeficientes numéricos dependentes de
; precisamos encontrar a condição sobre
que impeça a existência de raízes reais.
Informações relevantes: a equação é do segundo grau em
Passo 2
Para entender quando uma equação do segundo grau não tem solução real, usamos a fórmula que dá as raízes de uma equação do tipo
:
Nessa fórmula:
-
é o coeficiente de ; -
é o coeficiente de ; -
é o termo constante; - a expressão
é chamada de discriminante (vou denotar por ).
A ideia prática: se, então não é um número real, logo a fórmula não produz raízes reais — ou seja, a equação não tem solução real.
Passo 3
Identificamos os coeficientes na nossa equação comparando com
:
Calculamos o discriminante
:
Passo 4
Queremos que não haja solução real, então impomos
. Escrevemos e resolvemos a desigualdade passo a passo:
Subtraindo
dos dois lados:
Agora dividimos ambos os lados por
. Lembrete: ao dividir por número negativo, a desigualdade inverte de sentido. Assim:
Passo 5
Interpretação final: para qualquer valor de
estritamente maior que
a expressão
fica negativa e, portanto, a equação não tem raízes reais. (Como comentário adicional de entendimento: se
há exatamente uma raiz real dupla; se
há duas raízes reais distintas.)