Questão 3 - Um engenheiro está testando diferentes modelos de cabos para sustentar uma ponte. O cálculo da resistência envolve resolver a equação:
F(x)=x^{2}+4 x+k=0
onde k depende do tipo de material. Determine os valores de k para que a equação tenha:
Nenhuma solução real.

Passo 1

O enunciado fornece a equação
F(x)=x^{2}+4x+k=0
com k sendo um parâmetro que depende do material. A pergunta é: determinar os valores de k para que a equação tenha nenhuma solução real.
Informações relevantes: a equação é do segundo grau em x com coeficientes numéricos dependentes de k; precisamos encontrar a condição sobre k que impeça a existência de raízes reais.

Passo 2

Para entender quando uma equação do segundo grau não tem solução real, usamos a fórmula que dá as raízes de uma equação do tipo ax^{2}+bx+c=0:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
Nessa fórmula:
  • a é o coeficiente de x^{2};
  • b é o coeficiente de x;
  • c é o termo constante;
  • a expressão b^{2}-4ac é chamada de discriminante (vou denotar por \Delta).
    A ideia prática: se \Delta<0, então \sqrt{\Delta} não é um número real, logo a fórmula não produz raízes reais — ou seja, a equação não tem solução real.

Passo 3

Identificamos os coeficientes na nossa equação comparando com ax^{2}+bx+c=0:
a=1,\quad b=4,\quad c=k.
Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot 1\cdot k=16-4k.

Passo 4

Queremos que não haja solução real, então impomos \Delta<0. Escrevemos e resolvemos a desigualdade passo a passo:
16-4k<0
Subtraindo 16 dos dois lados:
-4k< -16
Agora dividimos ambos os lados por -4. Lembrete: ao dividir por número negativo, a desigualdade inverte de sentido. Assim:
k>4

Passo 5

Interpretação final: para qualquer valor de k estritamente maior que 4 a expressão \Delta fica negativa e, portanto, a equação não tem raízes reais. (Como comentário adicional de entendimento: se k=4 há exatamente uma raiz real dupla; se k<4 há duas raízes reais distintas.)

Resposta

k>4

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