Questão - 8. Qual o período da função f: R R dada por:
y=sen x cdot cos 2 x cdot cos 3 x-sen x cdot sen 2 x cdot sen 3 x
+cos x cdot sen 2 x cdot cos 3 x+cos x cdot cos 2 x cdot sen 3 x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=sin xcdotcos2xcdotcos3x-sin xcdotsin2xcdotsin3x+cos xcdotsin2xcdotcos3x+cos xcdotcos2xcdotsin3x
e pede o período dessa função. Vamos usar identidades trigonométricas de soma de ângulos para simplificar f(x).

Passo 2

Agrupando os dois primeiros termos, temos
sin xcos2xcos3x-sin xsin2xsin3x =sin xl[cos2xcos3x-sin2xsin3xr]
Como cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B), segue
sin xl[cos2xcos3x-sin2xsin3xr] =sin xcos(2x+3x) =sin xcos5x

Passo 3

Agora agrupamos os dois últimos termos, obtendo
cos xsin2xcos3x+cos xcos2xsin3x =cos xl[sin2xcos3x+cos2xsin3xr]
Como sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B), segue
cos xl[sin2xcos3x+cos2xsin3xr] =cos xsin(2x+3x) =cos xsin5x

Passo 4

Somando os resultados dos passos anteriores,
f(x)=sin xcos5x+cos xsin5x
Usando sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B), temos
f(x)=sin(x+5x)=sin6x

Passo 5

A função sin6x tem período T dado por
6T=2pi Longrightarrow T=2pi6=pi3

Resposta

O período de f(x) é pi3.

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