Questão 6. Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6 e 7 e escrevem-se os números formados em ordem crescente.
a) Que lugar ocupa o número 62.417?
b) Qual o número que ocupa o
lugar?
c) Qual o
algarismo escrito?
d) Qual a soma dos números assim formados?
a) Que lugar ocupa o número 62.417?
b) Qual o número que ocupa o
c) Qual o
d) Qual a soma dos números assim formados?
Passo 1
O enunciado pede para formar todos os números de cinco dígitos usando as permutações dos algarismos
, organizá-los em ordem crescente e então:
a) determinar a posição de ,
b) achar o número dessa lista,
c) encontrar o algarismo na sequência dos dígitos escritos um após o outro,
d) calcular a soma de todos os números formados.
Vamos usar contagem de permutações fatoriais, posições em ordem lexicográfica e a propriedade da soma em cada posição decimal.
a) determinar a posição de
b) achar o
c) encontrar o
d) calcular a soma de todos os números formados.
Vamos usar contagem de permutações fatoriais, posições em ordem lexicográfica e a propriedade da soma em cada posição decimal.
Passo 2
Para achar a posição de
, contamos quantos números vêm antes dele:
. Primeiro dígito
: há
dígitos menores (
), cada um gerando
números
.
. Fixando o primeiro dígito em
e o segundo em
: dos dígitos restantes
, só o
é menor que
, gerando
números
soma
.
. Fixando “
”, o terceiro dígito é
; entre os restantes
, só o
é menor
números
soma
.
. Quarto dígito
: não há dígitos menores em
.
. Finalmente somamos
para contar o próprio
.
Posição .
Posição
Passo 3
Para achar o
número:
. Cada bloco de primeiro dígito tem
números. Como
e
, o primeiro dígito é o terceiro em ordem
, isto é,
. Posição interna
.
. Com
fixo, cada segundo dígito dá
números.
determina o terceiro dígito na lista
. Posição interna
.
. Restam
; blocos de
:
terceiro dígito é
. Posição interna
.
. Restam
; blocos de
:
quarto dígito
. Posição interna
.
. Último dígito é
.
Logo o número é
.
Logo o
Passo 4
Para achar o
algarismo na sequência concatenada de todos os
números de
dígitos:
. Cada número tem
dígitos, então o
dígito pertence ao
-ésimo número, na sua posição
(quinta posição).
. O
número: blocos de
:
-
e primeiro dígito é , posição interna . - Com
, blocos de : segundo dígito é , posição interna . - Com
, blocos de : terceiro dígito é , posição interna ? Na prática, corrigimos para posição interna pois usamos teto, daí terceiro dígito , posição . - Com
, blocos de : quarto dígito , sobra posição interna . - Último dígito
.
Onúmero é , cujo quinto dígito é .
Passo 5
Para a soma de todos os
números:
Cada algarismo aparece igualmente em cada posição decimal, e há números e
posições
cada algarismo aparece
vezes em cada casa. A soma dos dígitos
é
.
Portanto, soma em cada casa , e somando sobre as potências de
:
Cada algarismo aparece igualmente em cada posição decimal, e há
Portanto, soma em cada casa
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)