Questão 6. Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6 e 7 e escrevem-se os números formados em ordem crescente.
a) Que lugar ocupa o número 62.417?
b) Qual o número que ocupa o 66^{o} lugar?
c) Qual o 200^{\circ} algarismo escrito?
d) Qual a soma dos números assim formados?

Passo 1

O enunciado pede para formar todos os números de cinco dígitos usando as permutações dos algarismos \{1,2,4,6,7\}, organizá-los em ordem crescente e então:
a) determinar a posição de 62417,
b) achar o 66^{o} número dessa lista,
c) encontrar o 200^{o} algarismo na sequência dos dígitos escritos um após o outro,
d) calcular a soma de todos os números formados.
Vamos usar contagem de permutações fatoriais, posições em ordem lexicográfica e a propriedade da soma em cada posição decimal.

Passo 2

Para achar a posição de 62417, contamos quantos números vêm antes dele:
1. Primeiro dígito 6: há 3 dígitos menores ( 1,2,4), cada um gerando 4!=24 números \Rightarrow 3\cdot24=72.
2. Fixando o primeiro dígito em 6 e o segundo em 2: dos dígitos restantes \{1,4,7\}, só o 1 é menor que 2, gerando 3!=6 números \Rightarrow soma 6.
3. Fixando “ 62”, o terceiro dígito é 4; entre os restantes \{1,7\}, só o 1 é menor \Rightarrow 2!=2 números \Rightarrow soma 2.
4. Quarto dígito 1: não há dígitos menores em \{7\} \Rightarrow 0.
5. Finalmente somamos +1 para contar o próprio 62417.
Posição = 72 + 6 + 2 + 0 + 1 = 81.

Passo 3

Para achar o 66^{o} número:
1. Cada bloco de primeiro dígito tem 4!=24 números. Como 66>48 e 66\le72, o primeiro dígito é o terceiro em ordem \{1,2,4,6,7\}, isto é, 4. Posição interna 66-48=18.
2. Com 4 fixo, cada segundo dígito dá 3!=6 números. 18/6=3 determina o terceiro dígito na lista \{1,2,6,7\} \Rightarrow 6. Posição interna 18-2\cdot6=6.
3. Restam \{1,2,7\}; blocos de 2!=2: 6/2=3 \Rightarrow terceiro dígito é 7. Posição interna 6-2\cdot2=2.
4. Restam \{1,2\}; blocos de 1!=1: 2/1=2 \Rightarrow quarto dígito 2. Posição interna 2-1\cdot1=1.
5. Último dígito é 1.
Logo o 66^{o} número é 46721.

Passo 4

Para achar o 200^{o} algarismo na sequência concatenada de todos os 120 números de 5 dígitos:
1. Cada número tem 5 dígitos, então o 200^{o} dígito pertence ao \lceil200/5\rceil=40-ésimo número, na sua posição 200-5\cdot39=5 (quinta posição).
2. O 40^{o} número: blocos de 24:
  • 40\le48 e 40>24 \Rightarrow primeiro dígito é 2, posição interna 40-24=16.
  • Com 2, blocos de 6: 16/6=3 \Rightarrow segundo dígito é 6, posição interna 16-2\cdot6=4.
  • Com \{1,4,7\}, blocos de 2: 4/2=2 \Rightarrow terceiro dígito é 4, posição interna 4-2\cdot2=0? Na prática, corrigimos para posição interna 4-1\cdot2=2 pois usamos teto, daí terceiro dígito 4, posição 2.
  • Com \{1,7\}, blocos de 1: 2/1=2 \Rightarrow quarto dígito 7, sobra posição interna 1.
  • Último dígito 1.
    O 40^{o} número é 26471, cujo quinto dígito é 1.

Passo 5

Para a soma de todos os 5! números:
Cada algarismo aparece igualmente em cada posição decimal, e há 120 números e 5 posições \Rightarrow cada algarismo aparece 120/5=24 vezes em cada casa. A soma dos dígitos \{1,2,4,6,7\} é 1+2+4+6+7=20.
Portanto, soma em cada casa = 24\cdot20=480, e somando sobre as potências de 10:
S = 480\,(10^0 + 10^1 + 10^2 + 10^3 + 10^4) = 480 \times 11111 = 5333280.

Resposta

a) 81
b) 46721
c) 1
d) 5333280

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