Questão 2. (Peso: 40 \% ) No escoamento turbulento próximo a uma parede plana, a velocidade local u varia apenas com a distância y da parede, com a tensão de cisalhamento na parede \tau_{w} e com as propriedades \rho e \mu do fluido. Os dados a seguir foram obtidos no túnel de vento da Universidade de Rhode Island para escoamento de ar, \rho=1,19 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu=1,82 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}) e \tau_{w}=1,39 \mathrm{~Pa} :
y(\mathrm{~mm}) 0,533 0,889 1,397 2,032 3,048 4,064
u(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) 15,42 16,52 17,56 18,20 19,36 20,09
(a) Organize os dados dos experimentos em uma tabela em termos do adimensional de u e do adimensional de y.
(b) Considere que a velocidade no túnel é aumentada de forma que \tau_{w}=2,60 \mathrm{~Pa}. Usando interpolação estime a nova velocidade em y=2,8 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento turbulento próximo a uma parede plana, em que a velocidade local u depende apenas de y, de \tau_{w}, de \rho e de \mu. O objetivo é (a) organizar os dados em termos dos grupos adimensionais de velocidade e distância à parede, e (b) para uma nova tensão de cisalhamento usar interpolação para estimar u em y=2{,}8\\ \mathrm{mm}. Para isso vamos precisar do “velocidade de atrito”
u_{\tau} = \sqrt{\frac{\tau_{w}}{\rho}}
e da viscosidade cinemática
\nu = \frac{\mu}{\rho}.

Passo 2

Calcular \nu e u_{\tau} para \tau_{w}=1{,}39\\ \mathrm{Pa}, \rho=1{,}19\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \mu=1{,}82\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}:
\nu = \frac{1{,}82\times10^{-5}}{1{,}19} \approx 1{,}5294\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},
u_{\tau1} = \sqrt{\frac{1{,}39}{1{,}19}} \approx 1{,}0808\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para cada par (y,u) convertemos y em metros, calculamos
y^{+} = \frac{y\,u_{\tau1}}{\nu}, \quad u^{+} = \frac{u}{u_{\tau1}},
e montamos a tabela:
y (mm) u (m/s) y^{+} u^{+}
0,533 15,42 37,7 14,27
0,889 16,52 62,8 15,29
1,397 17,56 98,8 16,25
2,032 18,20 143,7 16,84
3,048 19,36 215,7 17,90
4,064 20,09 287,6 18,59

Passo 4

Para \tau_{w2}=2{,}60\\ \mathrm{Pa} calculamos
u_{\tau2} = \sqrt{\frac{2{,}60}{1{,}19}} \approx 1{,}4782\\ \mathrm{m/s},
e para y=2{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}0028\\ \mathrm{m} obtemos
y^{+}_{2} = \frac{0{,}0028\cdot1{,}4782}{1{,}5294\times10^{-5}} \approx 270{,}7.
Este valor está entre y^{+}=215{,}7 e y^{+}=287{,}6 da tabela.

Passo 5

Interpolamos linearmente u^{+} entre os pontos adjacentes (y^{+},u^{+})=(215{,}7,17{,}90) e (287{,}6,18{,}59):
u^{+}_{\rm interp} =17{,}90 + (18{,}59-17{,}90)\,\frac{270{,}7-215{,}7}{287{,}6-215{,}7} \approx 18{,}43.

Passo 6

Finalmente a velocidade estimada é
u = u^{+}_{\rm interp}\,\times u_{\tau2} \approx 18{,}43 \times 1{,}4782 \approx 27{,}3\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

27,3 m/s

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