Tome em consideração as seguintes constantes cinéticas e vazão de entrada do processo para operação de um sistema de tratamento de efluentes por lodo ativado, e em seguida resolva as questões abaixo.
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boldsymbol{\mu}_{\mathbf{m a x}} 3 \mathrm{dia}^{-1}
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\mathbf{K}_{\mathbf{S}} 60 \mathrm{mg} \mathrm{DBO} / \mathrm{L}
\mathbf{k}_{\mathbf{d}} 0,1 \mathrm{dia}^{-1}
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\mathbf{C}_{\mathrm{S}}{ }^{\text {Entrada }} 850 \mathrm{mg} / \mathrm{L}
\mathbf{Y}_{\mathbf{x} / \mathbf{s}} 0,58 \mathrm{~g} \mathrm{SSV} / \mathrm{g} \mathrm{DBO}
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\mathbf{F} 1000 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{dia}
\mathbf{F}_{\mathbf{w}(\text { purga })} 300 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{dia}
DBO - Demanda Bioquímica de Oxigênio e SSV - Sólidos Suspensos Voláteis.
Faça um balanço de massa de um reator CSTR operando em estado estacionário. Considere a cinética de Monod e decaimento endógeno para substrato e biomassa, obtendo suas respectivas equações para as concentrações de saída do reator.

Passo 1

O enunciado pede o balanço de massa de um reator CSTR em estado estacionário, usando cinética de Monod com decaimento endógeno. Dados:
\mu_{\max}=3\rm\,dia^{-1}, K_S=60\rm\,mg\,DBO/L, k_d=0,1\rm\,dia^{-1}, Y_{x/s}=0,58\rm\,g\,SSV/g\,DBO, C_{S0}=850\rm\,mg/L, vazão de alimentação F=1000\rm\,m^3/d e vazão de purga F_w=300\rm\,m^3/d. Vamos obter expressões para as concentrações de saída de substrato C_S e de biomassa X.

Passo 2

Escrevemos o balanço de massa no reator, definindo V como o volume do reator. Para o substrato:
V\frac{dC_S}{dt} = F\,C_{S0} - F\,C_S \;-\; V\frac{1}{Y_{x/s}}\,\mu\,X
Para a biomassa:
V\frac{dX}{dt} = V\bigl(\mu\,X - k_d\,X\bigr) \;-\; F_w\,X
onde a taxa específica segue Monod:
\mu = \mu_{\max}\,\frac{C_S}{K_S + C_S}.

Passo 3

Em regime estacionário ( dC_S/dt=0 e dX/dt=0), o balanço de biomassa dá
0 = V(\mu - k_d)X - F_w\,X
Como X>0, segue
\mu - k_d = \frac{F_w}{V}.

Passo 4

Substituindo \mu = \mu_{\max}\dfrac{C_S}{K_S + C_S} na expressão anterior e isolando C_S:
\mu_{\max}\frac{C_S}{K_S + C_S} = k_d + \frac{F_w}{V}
\mu_{\max}C_S = \Bigl(k_d + \frac{F_w}{V}\Bigr)\,(K_S + C_S)
C_S\bigl(\mu_{\max} - k_d - \tfrac{F_w}{V}\bigr) = \Bigl(k_d + \tfrac{F_w}{V}\Bigr)\,K_S
C_S = \frac{K_S\bigl(k_d + \frac{F_w}{V}\bigr)}{\mu_{\max} - k_d - \frac{F_w}{V}}.

Passo 5

Para encontrar X, usamos o balanço de substrato em regime estacionário:
0 = F(C_{S0} - C_S) - V\frac{1}{Y_{x/s}}\mu\,X
\frac{F}{V}(C_{S0} - C_S) = \frac{\mu}{Y_{x/s}}\,X
X = \frac{Y_{x/s}\,\frac{F}{V}\,(C_{S0} - C_S)}{\mu}.
Substituindo \mu = k_d + \tfrac{F_w}{V} e o valor de C_S obtido, fica
X = \frac{Y_{x/s}\,\frac{F}{V}\,\bigl(C_{S0} - C_S\bigr)}{k_d + \frac{F_w}{V}}.

Resposta

C_{S,\mathrm{out}} = \frac{K_S\Bigl(k_d + \tfrac{F_w}{V}\Bigr)}{\mu_{\max} - k_d - \tfrac{F_w}{V}}, \qquad X_{\mathrm{out}} = \frac{Y_{x/s}\,\frac{F}{V}\,\bigl(C_{S0} - C_{S,\mathrm{out}}\bigr)}{k_d + \tfrac{F_w}{V}}.

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