Questão 5. (Peso: 20 \% ) Considere uma turbina a gás para propulsão. A pressão e a temperatura na entrada do compressor correspondem à uma altitude padrão de 10000 m . A relação de pressão através do compressor é de 5 para 1 e a temperatura na entrada da turbina é 1050^{\circ} \mathrm{C}. Saindo da turbina o ar entra no bocal e se expande até a pressão de entrada. Admitindo que as eficiências de todos os equipamentos é de 100 \%, determine a pressão na entrada do bocal e a velocidade do ar na saída do bocal.

Passo 1

Vamos resolver um ciclo aberto de turbina a gás (ciclo de Brayton) com eficiências de todos os equipamentos iguais a 100\%. Os dados são:
– Altitude de 10000\rm\\ m, cuja pressão e temperatura de entrada do compressor ( p_{1}, T_{1}) seguem a atmosfera padrão.
– Relação de pressão do compressor \pi_{c}=5.
– Temperatura na entrada da turbina T_{3}=1050\\ ^\circ\mathrm{C}=1323\\ \mathrm{K}.
Precisaremos de: constante adiabática k=1,4 e calor específico a pressão constante c_{p}=1004\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Obtemos as condições na entrada do compressor segundo a atmosfera padrão a 10000\rm\\ m:
T_{1}=223{,}15\\ \mathrm{K},\quad p_{1}=2{,}64\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Compressão isentrópica:
p_{2}=\pi_{c}\,p_{1}=5\,p_{1},\quad T_{2}=T_{1}\,\pi_{c}^{\tfrac{k-1}{k}} =T_{1}\,5^{0,2857} \approx223{,}15\times1{,}583\approx353{,}3\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Em regime estacionário a potência da turbina deve suprir a do compressor:
W_{c}=c_{p}\,(T_{2}-T_{1}),\quad W_{t}=c_{p}\,(T_{3}-T_{4}),\quad W_{t}=W_{c}
\Rightarrow T_{4} = T_{3} - (T_{2}-T_{1}) =1323 - (353{,}3-223{,}15) \approx1192{,}85\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calculamos a relação de pressão na turbina \pi_{t} a partir de
\pi_{t} =\Bigl(\frac{T_{3}}{T_{4}}\Bigr)^{\tfrac{k}{k-1}} =\Bigl(\frac{1323}{1192{,}85}\Bigr)^{3,5} \approx1{,}438.
Logo a pressão na saída da turbina (entrada do bocal) é
p_{4} =\frac{p_{3}}{\pi_{t}} =\frac{p_{2}}{\pi_{t}} =\frac{5\,p_{1}}{1{,}438} \approx3{,}478\,p_{1} \approx3{,}478\times2{,}64\times10^{4} \approx9{,}17\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

No bocal (isentrópico) o fluido expande de p_{4} até p_{\rm atm}=p_{1}. A temperatura de saída T_{5} é
T_{5} = T_{4}\,\Bigl(\frac{p_{1}}{p_{4}}\Bigr)^{\tfrac{k-1}{k}} =1192{,}85\;\Bigl(\frac{1}{3{,}478}\Bigr)^{0,2857} \approx835{,}9\\ \mathrm{K}.
A velocidade de saída do bocal vem da conversão da entalpia em energia cinética:
v =\sqrt{2\,c_{p}\,(T_{4}-T_{5})} =\sqrt{2\times1004\times(1192{,}85-835{,}9)} \approx846\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

Pressão na entrada do bocal:
p_{4}\approx9{,}17\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Velocidade de saída do bocal:
v\approx846\\ \mathrm{m/s}.

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