Dois escudos de radiação finos com emissividades de \varepsilon_{3}=0,10 e \varepsilon_{4}=0,15 em ambos os lados são colocados entre duas placas paralelas muito grandes, que são mantidas a temperaturas uniformes \mathrm{T}_{1}=600 \mathrm{Ke} \mathrm{T}{ }_{2}=300 \mathrm{Ke} têm emissividades \varepsilon_{1}=0,6 e \varepsilon_{2}=0,7, respectivamente. Determine as taxas líquidas de transferência de calor por radiação entre as duas placas com e sem as blindagens por unidade de área de superfície das placas e as temperaturas das blindagens de radiação em regime permanente de operação. R. 3288 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}; 206 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}; 549 K e 429 K

Passo 1

O enunciado descreve duas placas paralelas infinitas e duas blindagens finas inseridas entre elas. A placa 1 tem temperatura \mathrm{T}_{1}=600\\ \mathrm{K} e emissividade \varepsilon_{1}=0{,}6; a placa 2 tem \mathrm{T}_{2}=300\\ \mathrm{K} e \varepsilon_{2}=0{,}7. As duas blindagens (3 e 4) têm emissividades \varepsilon_{3}=0{,}10 e \varepsilon_{4}=0{,}15 em ambas as faces.
Conteúdo da matéria: radiação térmica entre superfícies paralelas, lei de Stefan–Boltzmann e equivalência a um circuito de resistências térmicas radiais.

Passo 2

Calcular a taxa de transferência de calor por radiação sem as blindagens usando
q = \frac{\sigma\bigl(T_1^4 - T_2^4\bigr)}{\displaystyle \frac{1}{\varepsilon_1} + \frac{1}{\varepsilon_2} - 1},
onde \sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2K^4}.
  1. \displaystyle \frac{1}{\varepsilon_1} + \frac{1}{\varepsilon_2} - 1 = \frac{1}{0{,}6} + \frac{1}{0{,}7} - 1 = 1{,}667 + 1{,}429 - 1 = 2{,}0957.
  2. T_1^4 - T_2^4 = 600^4 - 300^4 = 1{,}296\times 10^{11} - 8{,}10\times 10^{9} = 1{,}215\times 10^{11}.
  3. \displaystyle q = \frac{5{,}67\times10^{-8}\times1{,}215\times10^{11}}{2{,}0957} \approx 3{,}288\\ \mathrm{kW/m^2}.

Passo 3

Com as duas blindagens, montamos o circuito de resistências radiais em série:
R_{13} = \frac{1}{\varepsilon_1} + \frac{1}{\varepsilon_3} - 1,\quad R_{34} = \frac{1}{\varepsilon_3} + \frac{1}{\varepsilon_4} - 1,\quad R_{42} = \frac{1}{\varepsilon_4} + \frac{1}{\varepsilon_2} - 1.
Calculando:
R_{13} = 1{,}667 + 10 -1 = 10{,}667,\quad R_{34} = 10 + 6{,}667 -1 = 15{,}667,\quad R_{42} = 6{,}667 + 1{,}429 -1 = 7{,}0957.
Resistência total
R_\text{tot} = R_{13} + R_{34} + R_{42} = 10{,}667 + 15{,}667 + 7{,}0957 = 33{,}4307.
Então
q_{\text{com}} = \frac{\sigma\,(T_1^4 - T_2^4)}{R_\text{tot}} = \frac{5{,}67\times10^{-8}\times1{,}215\times10^{11}}{33{,}4307} \approx 206\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 4

As temperaturas de equilíbrio das blindagens vêm das quedas de “tensão” no circuito:
T_3^4 = T_1^4 - \frac{q_{\text{com}}\;R_{13}}{\sigma},\quad T_4^4 = T_3^4 - \frac{q_{\text{com}}\;R_{34}}{\sigma}.
  1. \displaystyle \frac{q_{\text{com}}\,R_{13}}{\sigma} = \frac{206\times10{,}667}{5{,}67\times10^{-8}} \approx 3,881\times10^{10},
    T_3^4 = 1{,}296\times10^{11}-3{,}881\times10^{10} =9{,}079\times10^{10}\implies T_3\approx549\\ \mathrm{K}.
  2. \displaystyle \frac{q_{\text{com}}\,R_{34}}{\sigma} = \frac{206\times15{,}667}{5{,}67\times10^{-8}} \approx 5,699\times10^{10},
    T_4^4 = 9{,}079\times10^{10}-5{,}699\times10^{10} =3{,}380\times10^{10}\implies T_4\approx429\\ \mathrm{K}.

Resposta

Sem blindagens: q = 3{,}288\\ \mathrm{kW/m^2}.
Com duas blindagens: q = 206\\ \mathrm{W/m^2}.
Temperaturas em regime permanente: T_3 = 549\\ \mathrm{K},\\ T_4 = 429\\ \mathrm{K}.

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