Questão 5
Uma pesquisa nacional entrevistou 1500 pessoas para avaliar a taxa de vacinação contra gripe. Destas, 1125 afirmaram ter tomado a vacina.
a) Construa um intervalo de confiança de
para a verdadeira proporção da população vacinada.
b) Qual a margem de erro encontrada?
c) Qual a amplitude do intervalo encontrado?
d) É possível que um intervalo de confiança apresente valor maior que 1 para a proporção populacional? Justifique.
a) Construa um intervalo de confiança de
b) Qual a margem de erro encontrada?
c) Qual a amplitude do intervalo encontrado?
d) É possível que um intervalo de confiança apresente valor maior que 1 para a proporção populacional? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma pesquisa que entrevistou 1500 pessoas para saber a taxa de vacinação contra a gripe. Destas, 1125 disseram que tomaram a vacina. Vamos usar Estatística, mais especificamente a construção de Intervalo de Confiança para proporções, para resolver as partes a, b, c e d desse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção amostral, que é a fração de pessoas que tomaram a vacina na nossa amostra. Isso se calcula dividindo o número de pessoas vacinadas pelo total entrevistado.
Então, a proporção amostral é 0,75 ou 75%.
Passo 3
Agora, para construir um intervalo de confiança de 80%, precisamos achar o valor crítico $ z $ correspondente a esse nível de confiança. Como o nível de confiança é 80%, a área nas duas caudas é de 20%, ou seja, 10% em cada lado. Olhando na tabela z, o valor crítico $ z $ para 80% de confiança é aproximadamente 1,28.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão (EP) da proporção, que nos ajuda a medir a variabilidade da proporção amostral. A fórmula do erro padrão é:
Onde:
- $ \hat{p} = 0,75 $
- $ n = 1500 $
Passo 5
Com o erro padrão e o valor crítico $ z $, podemos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, o intervalo de confiança fica entre:
Convertendo para porcentagem:
Passo 6
Para encontrar a margem de erro (parte b), observamos simplesmente o valor que adicionamos e subtraímos da proporção amostral. Nesse caso, a margem de erro é:
Convertendo para porcentagem:
Passo 7
A amplitude do intervalo (parte c) é a diferença entre o limite superior e o limite inferior do intervalo de confiança. Já calculamos isso:
Passo 8
Sobre a parte d, é possível que um intervalo de confiança apresente valores maiores que 1 para a proporção populacional? Tecnicamente, a proporção varia entre 0 e 1 (ou 0% a 100%). Se o intervalo de confiança calculado ultrapassar esses limites, indica que o método pode não ser adequado para a situação, especialmente com níveis de confiança muito altos ou amostras pequenas. Portanto, normalmente, um intervalo de confiança não deve exceder 1 ou ser menor que 0 para proporções.
Resposta
a) O intervalo de confiança de 80% para a proporção populacional vacinada está entre 73,57% e 76,43%.
b) A margem de erro encontrada é de aproximadamente 1,43%.
c) A amplitude do intervalo encontrado é de 2,86%.
d) Não, um intervalo de confiança para uma proporção populacional não pode apresentar valores maiores que 1, pois as proporções só variam de 0 a 1.
b) A margem de erro encontrada é de aproximadamente 1,43%.
c) A amplitude do intervalo encontrado é de 2,86%.
d) Não, um intervalo de confiança para uma proporção populacional não pode apresentar valores maiores que 1, pois as proporções só variam de 0 a 1.