Questão 5

Uma pesquisa nacional entrevistou 1500 pessoas para avaliar a taxa de vacinação contra gripe. Destas, 1125 afirmaram ter tomado a vacina.
a) Construa um intervalo de confiança de 80 % para a verdadeira proporção da população vacinada.
b) Qual a margem de erro encontrada?
c) Qual a amplitude do intervalo encontrado?
d) É possível que um intervalo de confiança apresente valor maior que 1 para a proporção populacional? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma pesquisa que entrevistou 1500 pessoas para saber a taxa de vacinação contra a gripe. Destas, 1125 disseram que tomaram a vacina. Vamos usar Estatística, mais especificamente a construção de Intervalo de Confiança para proporções, para resolver as partes a, b, c e d desse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral, que é a fração de pessoas que tomaram a vacina na nossa amostra. Isso se calcula dividindo o número de pessoas vacinadas pelo total entrevistado.
p = 11251500 = 0,75
Então, a proporção amostral é 0,75 ou 75%.

Passo 3

Agora, para construir um intervalo de confiança de 80%, precisamos achar o valor crítico $ z $ correspondente a esse nível de confiança. Como o nível de confiança é 80%, a área nas duas caudas é de 20%, ou seja, 10% em cada lado. Olhando na tabela z, o valor crítico $ z $ para 80% de confiança é aproximadamente 1,28.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão (EP) da proporção, que nos ajuda a medir a variabilidade da proporção amostral. A fórmula do erro padrão é:
EP = raizp(1 - p)n
Onde:
  • $ \hat{p} = 0,75 $
  • $ n = 1500 $
p = 0,75
n = 1500
EP = raiz0,75 times 0,251500
EP = raiz0,18751500

Passo 5

Com o erro padrão e o valor crítico $ z $, podemos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
z
Substituindo os valores:
IC = p pm z times EP
IC = 0,75 pm 1,28 times 0,01118
Então, o intervalo de confiança fica entre:
IC = 0,75 pm 0,0143
0,75 - 0,0143 = 0,7357
Convertendo para porcentagem:
0,75 + 0,0143 = 0,7643

Passo 6

Para encontrar a margem de erro (parte b), observamos simplesmente o valor que adicionamos e subtraímos da proporção amostral. Nesse caso, a margem de erro é:
ME = z times EP = 1,28 times 0,01118 approx 0,0143
Convertendo para porcentagem:
ME approx 1,43%

Passo 7

A amplitude do intervalo (parte c) é a diferença entre o limite superior e o limite inferior do intervalo de confiança. Já calculamos isso:
76,43% - 73,57% = 2,86%

Passo 8

Sobre a parte d, é possível que um intervalo de confiança apresente valores maiores que 1 para a proporção populacional? Tecnicamente, a proporção varia entre 0 e 1 (ou 0% a 100%). Se o intervalo de confiança calculado ultrapassar esses limites, indica que o método pode não ser adequado para a situação, especialmente com níveis de confiança muito altos ou amostras pequenas. Portanto, normalmente, um intervalo de confiança não deve exceder 1 ou ser menor que 0 para proporções.

Resposta

a) O intervalo de confiança de 80% para a proporção populacional vacinada está entre 73,57% e 76,43%.
b) A margem de erro encontrada é de aproximadamente 1,43%.
c) A amplitude do intervalo encontrado é de 2,86%.
d) Não, um intervalo de confiança para uma proporção populacional não pode apresentar valores maiores que 1, pois as proporções só variam de 0 a 1.

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