Questão 9) Uma pessoa ira necessitar de RS 22.000,00 daqui a um ano para realizar uma viagem. Para tanto, está sendo feita uma economia mensal de RS 1.250,00 a qual é depositada em uma conta poupança que remunera uma taxa de juros de 4 \% ao ano. Determine se a pessoa atingirá o montante necessário

Passo 1

O enunciado diz que a pessoa quer ter R\$\,22\,000{,}00 daqui a um ano e, para isso, faz depósitos mensais de R\$\,1\,250{,}00 numa poupança que rende 4\% ao ano, com capitalização composta. O conteúdo aqui é “valor futuro de uma série uniforme de pagamentos” (anuidade), e vamos precisar:
• Converter a taxa anual em taxa mensal efetiva.
• Usar a fórmula do valor futuro de uma anuidade-imediata.

Passo 2

Para transformar a taxa nominal anual de 4\% em taxa mensal efetiva, calculamos
i = (1 + 0{,}04)^{1/12} - 1.
Como \ln(1{,}04)\approx0{,}03922, temos
i \approx e^{0{,}03922/12} - 1 \approx 0{,}0032738\quad(\text{ou }0{,}32738\%\text{ ao mês}).ê

Passo 3

O valor futuro FV de uma anuidade-imediata com n depósitos mensais de valor R e taxa mensal i é
FV \;=\; R\;\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
Aqui R = 1\,250, n = 12 e i como calculado acima.

Passo 4

Substituindo:
(1+i)^{12} = 1{,}04,
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FV = 1\,250 \;\frac{1{,}04 - 1}{0{,}0032738} = 1\,250\;\frac{0{,}04}{0{,}0032738} \approx 1\,250 \times 12{,}218 \approx R\$\,15\,272{,}50.

Passo 5

O montante acumulado em um ano é cerca de R\$\,15\,272{,}50, bem abaixo dos R\$\,22\,000{,}00 necessários. Portanto, mesmo com os juros, não chega ao valor-alvo.

Resposta

Não. Ao final de um ano a pessoa terá aproximadamente R$ 15272,50, insuficiente para atingir os R$ 22000,00.

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