Questão 2: Uma pessoa tem à disposição dois espelhos esféricos, um côncavo e um convexo. Ambos os espelhos possuem o mesmo raio de curvatura, que em módulo vale 40 cm . Primeiramente a pessoa se olha no espelho côncavo, segurando-o a 80 cm do seu rosto. Em seguida ela se olha no espelho convexo, também segurando-o a 80 cm do seu rosto. Se s^{\prime} é a distância da imagem do rosto da pessoa ao espelho, determine:
a) (1,0 ponto) O valor de s^{\prime} para o espelho côncavo (incluindo o sinal).
b) ( 1,0 ponto) O valor de s^{\prime} para o espelho convexo (incluindo o sinal).
c) (1,0 ponto) Comparando as duas imagens entre si, qual delas é a maior? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei estes dados diretamente do enunciado):
  • Dois espelhos esféricos: um côncavo e um convexo.
  • O raio de curvatura tem módulo 40\\ \text{cm}. Ou seja, |R|=40\\ \text{cm}.
  • A pessoa segura cada espelho a 80\\ \text{cm} do seu rosto. Portanto a distância objeto é s=+80\\ \text{cm} (objeto real, à frente do espelho).
  • Denota-se por s^{\prime} a distância da imagem ao espelho (pede-se o valor incluindo o sinal).
O enunciado pede:
a) Determinar s^{\prime} para o espelho côncavo (com sinal).
b) Determinar s^{\prime} para o espelho convexo (com sinal).
c) Comparar as duas imagens — qual é maior — e justificar.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicadinhos, passo a passo):
  • Equação dos espelhos esféricos (fórmula fundamental):
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime}}.
Aqui:
  • f é a distância focal do espelho (positiva para espelho côncavo, negativa para convexa).
  • s é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto está na frente do espelho — caso do rosto da pessoa).
  • s^{\prime} é a distância da imagem ao espelho (sinal positivo para imagens reais formadas na frente do espelho; negativo para imagens virtuais, atrás do espelho).
  • Relação entre foco e raio de curvatura:
f=\frac{R}{2}.
Aqui R é o raio de curvatura. O sinal de R segue a convenção: para espelho côncavo toma-se R>0; para espelho convexo toma-se R<0. O enunciado deu |R|=40\\ \text{cm}, então usaremos R=+40\\ \text{cm} para o côncavo e R=-40\\ \text{cm} para o convexo.
  • Ampliação linear (para comparar tamanhos):
m=\frac{h^{\prime}}{h}=-\frac{s^{\prime}}{s},
onde h é a altura do objeto e h^{\prime} a altura da imagem. O sinal de m informa orientação (negativo = imagem invertida; positivo = imagem direita). O valor absoluto |m| dá a razão de tamanhos.

Passo 3

Cálculo para o espelho côncavo.
  • Primeiro, o foco: como para o côncavo R=+40\\ \text{cm},
f=\frac{R}{2}=\frac{+40}{2}=+20\\ \text{cm}.
  • Usando a equação dos espelhos com s=+80\\ \text{cm} e f=+20\\ \text{cm}:
\frac{1}{20}=\frac{1}{80}+\frac{1}{s^{\prime}}.
Isolando 1/s^{\prime}:
\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{1}{20}-\frac{1}{80}.
Faço a subtração com denominador comum 80:
\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{4}{80}-\frac{1}{80}=\frac{3}{80}.
Portanto
s^{\prime}=\frac{80}{3}\\ \text{cm}\approx 26{,}67\\ \text{cm}.
  • Interpretação do sinal: s^{\prime}=+\dfrac{80}{3}\\ \text{cm} é positivo, logo a imagem é real e está localizada na frente do espelho (lado do objeto). Em espelhos reais a imagem geralmente fica invertida; isso pode ser visto também pela ampliação, que calculamos a seguir se precisar.

Passo 4

Ampliação para o espelho côncavo (útil para comparar tamanhos):
Usando m=-s^{\prime}/s,
m_{\text{côncavo}}=-\frac{80/3}{80}=-\frac{1}{3}.ô
Significado: |m|=\dfrac{1}{3} → a imagem tem um terço do tamanho do objeto. O sinal negativo indica que a imagem está invertida.

Passo 5

Cálculo para o espelho convexo.
  • Para o convexo tomamos R=-40\\ \text{cm}, então
f=\frac{R}{2}=\frac{-40}{2}=-20\\ \text{cm}.
  • Equação dos espelhos com s=+80\\ \text{cm} e f=-20\\ \text{cm}:
\frac{1}{-20}=\frac{1}{80}+\frac{1}{s^{\prime}}.
Isolando 1/s^{\prime}:
\frac{1}{s^{\prime}}=\frac{1}{-20}-\frac{1}{80}=-\frac{1}{20}-\frac{1}{80}.
Colocando denominador comum 80:
\frac{1}{s^{\prime}}=-\frac{4}{80}-\frac{1}{80}=-\frac{5}{80}=-\frac{1}{16}.
Portanto
s^{\prime}=-16\\ \text{cm}.
  • Interpretação do sinal: s^{\prime}=-16\\ \text{cm} é negativo, então a imagem é virtual e está localizada atrás do espelho (lado oposto ao objeto). Em espelhos convexos as imagens são virtuais e direitas (não invertidas).

Passo 6

Ampliação para o espelho convexo e comparação dos tamanhos.
  • Ampliação:
m_{\text{convexo}}=-\frac{s^{\prime}}{s}=-\frac{-16}{80}=+\frac{16}{80}=+\frac{1}{5}.
Significado: |m|=\dfrac{1}{5} → a imagem tem um quinto do tamanho do objeto; o sinal positivo indica que a imagem é direita (não invertida).
  • Comparação das duas imagens:
    • Para o côncavo: |m_{\text{côncavo}}|=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333ô.
    • Para o convexo: |m_{\text{convexo}}|=\dfrac{1}{5}=0{,}2.
    • Conclusão: \dfrac{1}{3}>\dfrac{1}{5}, logo a imagem produzida pelo espelho côncavo é maior (em módulo) do que a produzida pelo espelho convexo. Além disso, a imagem do côncavo é real e invertida; a do convexo é virtual e direita.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (como lembrar e aplicar sem perder tempo):
  • Lembre que f=R/2 e que o sinal de R diferencia côncavo (positivo) e convexo (negativo).
  • Use a forma direta para obter s^{\prime}:
s^{\prime}=\frac{s\,f}{s-f},
mas cuidado com os sinais ao substituir f.
  • Para comparar tamanhos calcule m=-s^{\prime}/s; comparar |m| já resolve qual é maior.
  • Respire antes de calcular: coloque sinais explicitamente e faça as frações com denominadores comuns para evitar erro.

Resposta

a) s^{\prime}_{\text{côncavo}}=+\dfrac{80}{3}\\ \text{cm}\approx+26{,}67\\ \text{cm}ô
b) s^{\prime}_{\text{convexo}}=-16\\ \text{cm}
c) A imagem do espelho côncavo é maior. Justificativa: as ampliações são m_{\text{côncavo}}=-\tfrac{1}{3}ô (|m|=1/3) e m_{\text{convexo}}=+\tfrac{1}{5} (|m|=1/5); como 1/3>1/5, a imagem do côncavo tem maior tamanho.

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