Questão 2: Uma pessoa tem à disposição dois espelhos esféricos, um côncavo e um convexo. Ambos os espelhos possuem o mesmo raio de curvatura, que em módulo vale 40 cm . Primeiramente a pessoa se olha no espelho côncavo, segurando-o a 80 cm do seu rosto. Em seguida ela se olha no espelho convexo, também segurando-o a 80 cm do seu rosto. Se
é a distância da imagem do rosto da pessoa ao espelho, determine:
a) (1,0 ponto) O valor de
para o espelho côncavo (incluindo o sinal).
b) ( 1,0 ponto) O valor de
para o espelho convexo (incluindo o sinal).
c) (1,0 ponto) Comparando as duas imagens entre si, qual delas é a maior? Justifique.
a) (1,0 ponto) O valor de
b) ( 1,0 ponto) O valor de
c) (1,0 ponto) Comparando as duas imagens entre si, qual delas é a maior? Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei estes dados diretamente do enunciado):
- Dois espelhos esféricos: um côncavo e um convexo.
- O raio de curvatura tem módulo
. Ou seja, . - A pessoa segura cada espelho a
do seu rosto. Portanto a distância objeto é (objeto real, à frente do espelho). - Denota-se por
a distância da imagem ao espelho (pede-se o valor incluindo o sinal).
O enunciado pede:
a) Determinar para o espelho côncavo (com sinal).
b) Determinar para o espelho convexo (com sinal).
c) Comparar as duas imagens — qual é maior — e justificar.
a) Determinar
b) Determinar
c) Comparar as duas imagens — qual é maior — e justificar.
Passo 2
Princípios e fórmulas que vamos usar (explicadinhos, passo a passo):
- Equação dos espelhos esféricos (fórmula fundamental):
Aqui:
-
é a distância focal do espelho (positiva para espelho côncavo, negativa para convexa). -
é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto está na frente do espelho — caso do rosto da pessoa). -
é a distância da imagem ao espelho (sinal positivo para imagens reais formadas na frente do espelho; negativo para imagens virtuais, atrás do espelho). -
Relação entre foco e raio de curvatura:
Aqui
é o raio de curvatura. O sinal de
segue a convenção: para espelho côncavo toma-se
; para espelho convexo toma-se
. O enunciado deu
, então usaremos
para o côncavo e
para o convexo.
- Ampliação linear (para comparar tamanhos):
onde
é a altura do objeto e
a altura da imagem. O sinal de
informa orientação (negativo = imagem invertida; positivo = imagem direita). O valor absoluto
dá a razão de tamanhos.
Passo 3
Cálculo para o espelho côncavo.
- Primeiro, o foco: como para o côncavo
,
- Usando a equação dos espelhos com
e :
Isolando
:
Faço a subtração com denominador comum
:
Portanto
- Interpretação do sinal:
é positivo, logo a imagem é real e está localizada na frente do espelho (lado do objeto). Em espelhos reais a imagem geralmente fica invertida; isso pode ser visto também pela ampliação, que calculamos a seguir se precisar.
Passo 4
Ampliação para o espelho côncavo (útil para comparar tamanhos):
Usando
,
Significado:
→ a imagem tem um terço do tamanho do objeto. O sinal negativo indica que a imagem está invertida.
Passo 5
Cálculo para o espelho convexo.
- Para o convexo tomamos
, então
- Equação dos espelhos com
e :
Isolando
:
Colocando denominador comum
:
Portanto
- Interpretação do sinal:
é negativo, então a imagem é virtual e está localizada atrás do espelho (lado oposto ao objeto). Em espelhos convexos as imagens são virtuais e direitas (não invertidas).
Passo 6
Ampliação para o espelho convexo e comparação dos tamanhos.
- Ampliação:
Significado:
→ a imagem tem um quinto do tamanho do objeto; o sinal positivo indica que a imagem é direita (não invertida).
- Comparação das duas imagens:
- Para o côncavo:
. - Para o convexo:
. - Conclusão:
, logo a imagem produzida pelo espelho côncavo é maior (em módulo) do que a produzida pelo espelho convexo. Além disso, a imagem do côncavo é real e invertida; a do convexo é virtual e direita.
- Para o côncavo:
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (como lembrar e aplicar sem perder tempo):
- Lembre que
e que o sinal de diferencia côncavo (positivo) e convexo (negativo). - Use a forma direta para obter
:
mas cuidado com os sinais ao substituir
.
- Para comparar tamanhos calcule
; comparar já resolve qual é maior. - Respire antes de calcular: coloque sinais explicitamente e faça as frações com denominadores comuns para evitar erro.
Resposta
a)
b)
c) A imagem do espelho côncavo é maior. Justificativa: as ampliações são
(|m|=1/3) e
(|m|=1/5); como
, a imagem do côncavo tem maior tamanho.