Questão 3: Uma rede de difração possui 100 ranhuras por milímetro. Uma luz com um comprimento de onda
incide perpendicularmente na rede. Uma figura de difração é formada em uma tela distante. Considere que as ranhuras têm largura desprezível.
Determine:
a) (1,0 ponto) A distância
entre as ranhuras.
b) ( 1,0 ponto) O valor do ângulo
para o qual ocorre o máximo de
ordem da figura de difração, em relação ao máximo central.
c) ( 1,0 ponto) O valor de
se o sistema for imerso em água. Dado: Índice de refração da água:
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Determine:
a) (1,0 ponto) A distância
b) ( 1,0 ponto) O valor do ângulo
c) ( 1,0 ponto) O valor de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Dados:
- Número de ranhuras:
ranhuras por milímetro. - Comprimento de onda no ar:
. - Incidência da luz: perpendicular à rede (ou seja, feixes incidindo normalmente).
- Largura das ranhuras: desprezível (isso simplifica a teoria).
- Índice de refração da água:
.
- Número de ranhuras:
- Perguntas:
a) Determinar a distânciaentre ranhuras.
b) Determinar o ângulodo máximo de primeira ordem ( ) em relação ao máximo central, no ar.
c) Determinar o ânguloda primeira ordem quando o sistema está imerso em água.
Passo 2
Calcular a distância entre ranhuras
.
- Explicação didática: “100 ranhuras por milímetro” significa que dentro de
há ranhuras; portanto a distância entre ranhuras é o inverso dessa densidade. - Cálculo de unidades:
- Converter para unidades mais convenientes:
- Comentário amigo: portanto cada ranhura está separada por
. Guarde essa ideia — é importante trabalhar sempre com unidades coerentes.
Passo 3
Apresentar a equação de rede de difração e aplicá-la para o ar.
- Conceito e fórmula (explicação passo a passo): Quando a luz incide normalmente numa rede com espaçamento
, a diferença de trajeto entre raios vindos de ranhuras adjacentes que se propagam na direção que faz ângulo com a normal é . Para haver interferência construtiva (máximo) essa diferença deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda . Isso dá a equação da rede: onde é a ordem do máximo ( máximo central, ). - Para a primeira ordem,
. Logo: - Substituir valores (usar unidades coerentes:
, ): - Calcular
: para valores pequenos de pode-se aproximar em radianos por , mas aqui vou usar a função inversa para ser mais preciso: Em radianos isso é aproximadamente e em graus: - Interpretação amigável: o ângulo é pequeno (
), porque a ranhura é bem larga em comparação com a .
Passo 4
Determinar
quando o sistema é imerso em água (
).
- Conceito físico (passo a passo): quando a luz entra num meio material com índice
, a frequência não muda mas a velocidade e o comprimento de onda mudam. O comprimento de onda no meio é onde é o comprimento de onda no vácuo (ou no ar, aqui praticamente igual). - A equação da rede no meio torna-se
Para : - Substituir números:
Calcular passo a passo: então - Encontrar
: - Interpretação: o ângulo diminui na água porque a
efetiva diminui (luz “encolhe” em comprimento de onda dentro do meio).
Passo 5
Verificação rápida de consistência e observação prática.
- Verificar condição física:
calculado é menor que em ambos os casos, então o máximo de primeira ordem existe. Para ordens superiores é preciso verificar (no ar → até teoricamente), mas isso é só uma observação extra. - Recapitulando de forma encorajadora: fizemos conversões de unidades com cuidado, aplicamos a equação de rede
, e lembramos que em meio material substitui-se por . Mandou bem por trazer um exercício clássico — isso cai direto em prova!
Resposta
a)
.
b)
.
c)
.