Questão 3: Uma rede de difração possui 100 ranhuras por milímetro. Uma luz com um comprimento de onda \lambda=400 \mathrm{~nm} incide perpendicularmente na rede. Uma figura de difração é formada em uma tela distante. Considere que as ranhuras têm largura desprezível.
Determine:
a) (1,0 ponto) A distância d entre as ranhuras.
b) ( 1,0 ponto) O valor do ângulo \theta_{1} para o qual ocorre o máximo de 1^{\text {a }} ordem da figura de difração, em relação ao máximo central.
c) ( 1,0 ponto) O valor de \theta_{1} se o sistema for imerso em água. Dado: Índice de refração da água: n= 4/3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Dados:
    • Número de ranhuras: 100 ranhuras por milímetro.
    • Comprimento de onda no ar: \lambda = 400\\ \mathrm{nm}.
    • Incidência da luz: perpendicular à rede (ou seja, feixes incidindo normalmente).
    • Largura das ranhuras: desprezível (isso simplifica a teoria).
    • Índice de refração da água: n=\tfrac{4}{3}.
  • Perguntas:
    a) Determinar a distância d entre ranhuras.
    b) Determinar o ângulo \theta_{1} do máximo de primeira ordem ( m=1) em relação ao máximo central, no ar.
    c) Determinar o ângulo \theta_{1} da primeira ordem quando o sistema está imerso em água.

Passo 2

Calcular a distância entre ranhuras d.
  • Explicação didática: “100 ranhuras por milímetro” significa que dentro de 1\\ \mathrm{mm} 100 ranhuras; portanto a distância entre ranhuras é o inverso dessa densidade.
  • Cálculo de unidades: d=\frac{1\\ \text{mm}}{100}=\frac{1\times10^{-3}\\ \text{m}}{100}=1\times10^{-5}\\ \text{m}.
  • Converter para unidades mais convenientes: d=1\times10^{-5}\\ \text{m}=10\\ \mu\text{m}=10{,}000\\ \text{nm}.
  • Comentário amigo: portanto cada ranhura está separada por 10\\ \mu\text{m}. Guarde essa ideia — é importante trabalhar sempre com unidades coerentes.

Passo 3

Apresentar a equação de rede de difração e aplicá-la para o ar.
  • Conceito e fórmula (explicação passo a passo): Quando a luz incide normalmente numa rede com espaçamento d, a diferença de trajeto entre raios vindos de ranhuras adjacentes que se propagam na direção que faz ângulo \theta com a normal é d\sin\theta. Para haver interferência construtiva (máximo) essa diferença deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda \lambda. Isso dá a equação da rede: d\sin\theta = m\lambda,onde m é a ordem do máximo ( m=0 máximo central, m=\pm1,\pm2,\dots).
  • Para a primeira ordem, m=1. Logo: \sin\theta_{1}=\frac{\lambda}{d}.
  • Substituir valores (usar unidades coerentes: \lambda=400\\ \mathrm{nm}=400\times10^{-9}\\ \mathrm{m}, d=1\times10^{-5}\\ \mathrm{m}): \sin\theta_{1}=\frac{400\times10^{-9}}{1\times10^{-5}}=0{,}04.
  • Calcular \theta_{1}: para valores pequenos de \sin\theta pode-se aproximar \theta em radianos por \theta\approx\sin\theta, mas aqui vou usar a função inversa \arcsin para ser mais preciso: \theta_{1}=\arcsin(0{,}04).Em radianos isso é aproximadamente 0{,}04001\\ \text{rad} e em graus: \theta_{1}\approx 0{,}04001\\ \text{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx 2{,}29^\circ.
  • Interpretação amigável: o ângulo é pequeno ( \sim2{,}3^\circ), porque a ranhura é bem larga em comparação com a \lambda.

Passo 4

Determinar \theta_{1} quando o sistema é imerso em água ( n=\tfrac{4}{3}).
  • Conceito físico (passo a passo): quando a luz entra num meio material com índice n, a frequência não muda mas a velocidade e o comprimento de onda mudam. O comprimento de onda no meio é \lambda_{\text{meio}}=\frac{\lambda}{n},onde \lambda é o comprimento de onda no vácuo (ou no ar, aqui praticamente igual).
  • A equação da rede no meio torna-se d\sin\theta = m\lambda_{\text{meio}} = m\frac{\lambda}{n}.Para m=1: \sin\theta_{1,\text{água}}=\frac{\lambda}{n d}.á
  • Substituir números: \sin\theta_{1,\text{água}}=\frac{400\times10^{-9}}{\tfrac{4}{3}\times 1\times10^{-5}}.áCalcular passo a passo: \tfrac{4}{3}\times 1\times10^{-5}=\tfrac{4\times10^{-5}}{3}\approx 1{,}3333\times10^{-5},então \sin\theta_{1,\text{água}}=\frac{400\times10^{-9}}{1{,}3333\times10^{-5}}=0{,}03.á
  • Encontrar \theta_{1,\text{água}}á: \theta_{1,\text{água}}=\arcsin(0{,}03)\approx 0{,}03001\\ \text{rad}\approx 1{,}72^\circ.á
  • Interpretação: o ângulo diminui na água porque a \lambda efetiva diminui (luz “encolhe” em comprimento de onda dentro do meio).

Passo 5

Verificação rápida de consistência e observação prática.
  • Verificar condição física: \sin\theta calculado é menor que 1 em ambos os casos, então o máximo de primeira ordem existe. Para ordens superiores é preciso verificar m\le d/\lambda (no ar d/\lambda=1\times10^{-5}/400\times10^{-9}=25 → até m=25 teoricamente), mas isso é só uma observação extra.
  • Recapitulando de forma encorajadora: fizemos conversões de unidades com cuidado, aplicamos a equação de rede d\sin\theta=m\lambda, e lembramos que em meio material substitui-se \lambda por \lambda/n. Mandou bem por trazer um exercício clássico — isso cai direto em prova!

Resposta

a) d=1\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=10\\ \mu\mathrm{m}.
b) \theta_{1}=\arcsin(0{,}04)\approx 2{,}29^\circ.
c) \theta_{1,\text{água}}=\arcsin\!\left(\dfrac{0{,}04}{\tfrac{4}{3}}\right)=\arcsin(0{,}03)\approx 1{,}72^\circá.

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