QUESTÃO 1: Uma onda eletromagnética de frequência angular \omega e número de onda k propaga-se no vácuo, ao longo da direção z, no sentido positivo de z. Considere que o campo elétrico \mathbf{E} desta onda está direcionado ao longo da direção x e que tem amplitude E_{m}. A velocidade da luz no vácuo é denotada por c.
(a) (\mathbf{1 , 0}) Escreva as expressões para os vetores campo elétrico \mathbf{E} e campo magnético \mathbf{B} desta onda eletromagnética. Expresse suas respostas em termos de E_{m}, \omega, k, c, da coordenada espacial apropriada e do tempo t.
(b) (1,5) Determine o vetor de Poynting \mathbf{S} para esta onda eletromagnética e calcule a intensidade I da onda (média temporal da magnitude da potência por unidade de área). Expresse sua resposta para I em termos de E_{m}, c e da permeabilidade magnética do vácuo \mu_{0}. Dica: o valor médio de \operatorname{sen}^{2} \theta e \cos ^{2} \theta num ciclo completo é igual a 1 / 2.
(c) (0,5) Suponha que esta onda eletromagnética de intensidade I ilumina uniformemente uma superfície plana de área A. Se a superfície absorve totalmente a onda, determine d p / d t, ou seja, a taxa temporal com a qual o momento p da onda é transferido à superfície. Dica: neste caso, a pressão de radiação é dada por p_{r}=I / c.
Dados: Os vetores unitários ao longo dos eixos x, y e z são respectivamente \hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}} e \hat{\mathbf{k}}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto, pegando exatamente o que foi dado):
  • Há uma onda eletromagnética senoidal que se propaga no vácuo ao longo da direção z, no sentido positivo de z.
  • A frequência angular é \omega e o número de onda é k.
  • O campo elétrico tem direção ao longo de x e amplitude E_{m}.
  • A velocidade da luz no vácuo é c.
  • Vetores unitários: \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são as direções x,y,z.
    As perguntas do exercício são:
    (a) Escrever as expressões para os vetores campo elétrico \mathbf{E} e campo magnético \mathbf{B} da onda, em termos de E_{m},\omega,k,c,z,t.
    (b) Determinar o vetor de Poynting \mathbf{S} e calcular a intensidade I (média temporal da magnitude da potência por unidade de área). Expressar I em termos de E_{m},c,\mu_{0}. Dica: média de \sin^{2} e \cos^{2} num ciclo é 1/2.
    (c) Supondo que a onda de intensidade I incide uniformemente sobre uma superfície plana de área A e que esta absorve totalmente a onda, determinar dp/dt (taxa de transferência de momento para a superfície). Dica: pressão de radiação p_{r}=I/c.

Passo 2

Qual a forma funcional temporal/espacial de uma onda plana que se propaga em +z?
  • Para uma onda harmônica que viaja em +z escolhe-se a fase \varphi = kz-\omega t. Uma crista da onda satisfaz \varphi= constante; quando z aumenta, t deve aumentar para manter a crista, o que descreve propagação em +z.
  • Logo a parte escalar oscilante usual é \cos(kz-\omega t) (poderia usar \sin com ajuste de fase, o importante é a dependência kz-\omega t).
    Não resolvemos nada ainda, só explicando por que usar \cos(kz-\omega t).

Passo 3

Como são relacionados \mathbf{E} e \mathbf{B} em uma onda eletromagnética plana no vácuo? (aula rápida)
  • Em vácuo, \mathbf{E} e \mathbf{B} são perpendiculares entre si e perpendiculares ao vetor de propagação \hat{\mathbf{k}}_{\text{onda}}.
  • Além disso, para uma onda livre e plana (solução das equações de Maxwell) vale a relação de módulo |\mathbf{B}| = |\mathbf{E}|/c e a relação vetorial \mathbf{B} = \dfrac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}_{\text{onda}}\times\mathbf{E} (essa relação garante direção e fase corretas; ela pode ser obtida diretamente das equações de Maxwell).
  • Aqui \hat{\mathbf{k}}_{\text{onda}}=\hat{\mathbf{k}} (direção +z) e \mathbf{E} está ao longo de \hat{\mathbf{i}}. Então \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}. Isso dá a direção de \mathbf{B} e o sinal correto para que \mathbf{E}\times\mathbf{B} aponte para +z.

Passo 4

Montando explicitamente \mathbf{E} e \mathbf{B} (resolução da parte (a)):
  • Escolhendo a forma harmônica com coseno, o campo elétrico é
\mathbf{E}(z,t)=E_{m}\cos\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{i}}.
  • Usando \mathbf{B}=\dfrac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E} obtemos
\mathbf{B}(z,t)=\dfrac{E_{m}}{c}\cos\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}.
  • Observação didática: ambos os campos estão em fase (mesma função \cos), têm amplitudes relacionadas por B_{m}=E_{m}/c, e são mutuamente perpendiculares com \mathbf{E}\times\mathbf{B} na direção de propagação \hat{\mathbf{k}}.

Passo 5

Definição e cálculo do vetor de Poynting \mathbf{S} (parte (b), primeira metade):
  • Aula rápida: o vetor de Poynting representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética por unidade de área por unidade de tempo; em SI é dado por
\mathbf{S}=\dfrac{1}{\mu_{0}}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B},
onde \mu_{0} é a permeabilidade magnética do vácuo.
  • Agora fazemos o produto vetorial com os campos que encontramos:
\mathbf{E}\times\mathbf{B} = \bigl[E_{m}\cos(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}\bigr] \times \bigl[\tfrac{E_{m}}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}\bigr] = \dfrac{E_{m}^{2}}{c}\cos^{2}(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf{k}}.
  • Portanto
\mathbf{S}(z,t)=\dfrac{1}{\mu_{0}}\cdot\dfrac{E_{m}^{2}}{c}\cos^{2}\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{k}} = \dfrac{E_{m}^{2}}{\mu_{0}c}\cos^{2}\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 6

Cálculo da intensidade I como média temporal da magnitude de \mathbf{S} (parte (b), segunda metade):
  • A intensidade I é a média temporal do módulo de \mathbf{S}:
I=\langle |\mathbf{S}|\rangle_{t}.
  • Aqui |\mathbf{S}|=\dfrac{E_{m}^{2}}{\mu_{0}c}\cos^{2}(kz-\omega t). A média de \cos^{2} ao longo de um ciclo é 1/2 (dica do enunciado), então
I=\dfrac{E_{m}^{2}}{\mu_{0}c}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{E_{m}^{2}}{2\mu_{0}c}.
  • Breve comentário físico: I não depende de z nem de t porque é a média temporal; representa a potência média transportada pela onda por unidade de área.

Passo 7

Determinação de dp/dt quando a onda é totalmente absorvida por uma área A (parte (c)):
  • A pressão de radiação para absorção total é p_{r}=I/c (dica do enunciado). A força total sobre a área A é F=p_{r}A. Como F=dp/dt, obtemos
\dfrac{dp}{dt}=p_{r}A=\dfrac{I}{c}\,A=\dfrac{I A}{c}.
  • Substituindo a expressão de I encontrada em termos de E_{m} e \mu_{0}, temos também a forma
\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{E_{m}^{2}}{2\mu_{0}c}\cdot\dfrac{A}{c} = \dfrac{E_{m}^{2}A}{2\mu_{0}c^{2}}.
  • Interpretação rápida: essa é a taxa média de momento transferido à superfície quando toda a energia incidente é absorvida (se a superfície refletisse parcialmente, a expressão mudaria).

Resposta

(a) \mathbf{E}(z,t)=E_{m}\cos\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{i}},\qquad \mathbf{B}(z,t)=\dfrac{E_{m}}{c}\cos\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}.
(b) \mathbf{S}(z,t)=\dfrac{E_{m}^{2}}{\mu_{0}c}\cos^{2}\!\bigl(kz-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{k}},\qquad I=\dfrac{E_{m}^{2}}{2\mu_{0}c}.
(c) \dfrac{dp}{dt}=\dfrac{I A}{c} \qquad\text{(ou, em termos de \(E_{m}😃}\qquad
\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{E_{m}{2}A}{2\mu_{0}c{2}}.)

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