QUESTÃO 1: Uma onda eletromagnética de frequência angular
e número de onda
propaga-se no vácuo, ao longo da direção
, no sentido positivo de
. Considere que o campo elétrico
desta onda está direcionado ao longo da direção
e que tem amplitude
. A velocidade da luz no vácuo é denotada por
.
(a)
Escreva as expressões para os vetores campo elétrico
e campo magnético
desta onda eletromagnética. Expresse suas respostas em termos de
, da coordenada espacial apropriada e do tempo
.
(b)
Determine o vetor de Poynting
para esta onda eletromagnética e calcule a intensidade
da onda (média temporal da magnitude da potência por unidade de área). Expresse sua resposta para
em termos de
e da permeabilidade magnética do vácuo
. Dica: o valor médio de
e
num ciclo completo é igual a
.
(c)
Suponha que esta onda eletromagnética de intensidade
ilumina uniformemente uma superfície plana de área
. Se a superfície absorve totalmente a onda, determine
, ou seja, a taxa temporal com a qual o momento
da onda é transferido à superfície. Dica: neste caso, a pressão de radiação é dada por
.
Dados: Os vetores unitários ao longo dos eixos
e
são respectivamente
e
.
(a)
(b)
(c)
Dados: Os vetores unitários ao longo dos eixos
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto, pegando exatamente o que foi dado):
- Há uma onda eletromagnética senoidal que se propaga no vácuo ao longo da direção
, no sentido positivo de . - A frequência angular é
e o número de onda é . - O campo elétrico tem direção ao longo de
e amplitude . - A velocidade da luz no vácuo é
. - Vetores unitários:
são as direções .
As perguntas do exercício são:
(a) Escrever as expressões para os vetores campo elétricoe campo magnético da onda, em termos de .
(b) Determinar o vetor de Poyntinge calcular a intensidade (média temporal da magnitude da potência por unidade de área). Expressar em termos de . Dica: média de e num ciclo é .
(c) Supondo que a onda de intensidadeincide uniformemente sobre uma superfície plana de área e que esta absorve totalmente a onda, determinar (taxa de transferência de momento para a superfície). Dica: pressão de radiação .
Passo 2
Qual a forma funcional temporal/espacial de uma onda plana que se propaga em
?
- Para uma onda harmônica que viaja em
escolhe-se a fase . Uma crista da onda satisfaz constante; quando aumenta, deve aumentar para manter a crista, o que descreve propagação em . - Logo a parte escalar oscilante usual é
(poderia usar com ajuste de fase, o importante é a dependência ).
Não resolvemos nada ainda, só explicando por que usar.
Passo 3
Como são relacionados
e
em uma onda eletromagnética plana no vácuo? (aula rápida)
- Em vácuo,
e são perpendiculares entre si e perpendiculares ao vetor de propagação . - Além disso, para uma onda livre e plana (solução das equações de Maxwell) vale a relação de módulo
e a relação vetorial (essa relação garante direção e fase corretas; ela pode ser obtida diretamente das equações de Maxwell). - Aqui
(direção ) e está ao longo de . Então . Isso dá a direção de e o sinal correto para que aponte para .
Passo 4
Montando explicitamente
e
(resolução da parte (a)):
- Escolhendo a forma harmônica com coseno, o campo elétrico é
- Usando
obtemos
- Observação didática: ambos os campos estão em fase (mesma função
), têm amplitudes relacionadas por , e são mutuamente perpendiculares com na direção de propagação .
Passo 5
Definição e cálculo do vetor de Poynting
(parte (b), primeira metade):
- Aula rápida: o vetor de Poynting representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética por unidade de área por unidade de tempo; em SI é dado por
onde
é a permeabilidade magnética do vácuo.
- Agora fazemos o produto vetorial com os campos que encontramos:
- Portanto
Passo 6
Cálculo da intensidade
como média temporal da magnitude de
(parte (b), segunda metade):
- A intensidade
é a média temporal do módulo de :
- Aqui
. A média de ao longo de um ciclo é (dica do enunciado), então
- Breve comentário físico:
não depende de nem de porque é a média temporal; representa a potência média transportada pela onda por unidade de área.
Passo 7
Determinação de
quando a onda é totalmente absorvida por uma área
(parte (c)):
- A pressão de radiação para absorção total é
(dica do enunciado). A força total sobre a área é . Como , obtemos
- Substituindo a expressão de
encontrada em termos de e , temos também a forma
- Interpretação rápida: essa é a taxa média de momento transferido à superfície quando toda a energia incidente é absorvida (se a superfície refletisse parcialmente, a expressão mudaria).
Resposta
(a)
(b)
(c)
😃}\qquad
\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{E_{m}{2}A}{2\mu_{0}c{2}}.)
\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{E_{m}{2}A}{2\mu_{0}c{2}}.)