Questão 7. Os pinípedes são uma subordem dos mamíferos carnívoros aquáticos, tais como focas e morsas, cujos pés evoluem para nadadeiras. A relação comprimento-peso durante o crescimento fetal é dada por
W=(6 x 10^-5) L^2,74,
em que L é o comprimento em centímetros e W é o peso em quilogramas.
a) Use a regra da cadeia para estabelecer uma fórmula para a taxa de crescimento no peso em relação ao tempo t.
b) Se o peso de uma foca é de 0,5 kg e varia à razão de 0,4 kg / mêsê, qual a taxa de variação do comprimento?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre peso W (em kg) e comprimento L (em cm) de pinípedes fetais,
W = l(6times10^-5r),L^2,74,
e pede em (a) a fórmula da taxa de crescimento do peso em relação ao tempo t (ou seja, tfracdWdt) usando regra da cadeia; e em (b) a taxa de variação do comprimento tfracdLdt quando W=0,5 kg e tfracdWdt=0,4 kg/mês.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro derivamos W em função de L usando a regra do poder:
dWdL = l(6times10^-5r)times2,74,L^2,74-1 = l(6times10^-5r)cdot2,74,L^1,74
Em seguida, como W depende de L que depende de t, pela regra da cadeia,
dWdt = dWdL,dLdt = l(6times10^-5r)cdot2,74,L^1,74,dLdt

Passo 3

Portanto a fórmula geral pedida em (a) é
dWdt = l(6times10^-5r)cdot2,74,L^1,74,dLdt

Passo 4

Para (b), temos tfracdWdt=0,4 kg/mês e W=0,5 kg. Primeiro achamos L resolvendo
0,5 = l(6times10^-5r),L^2,74,
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L = gl(0,56times10^-5gr)^tfrac12,74 approx27 cm

Passo 5

Agora calculamos tfracdWdL em Lapprox27 cm:
dWdL = l(6times10^-5r)cdot2,74,(27)^1,74 approx0,0511 kg/cm
Invertendo a fórmula da cadeia para obter tfracdLdt,
dLdt = dWdtdWdL = 0,40,0511 approx7,8 cm/mês ê

Resposta

(a) dWdt = l(6times10^-5r)cdot2,74,L^1,74,dLdt\n(b) dLdtapprox7,8 cm/mêsê

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