Questão 3. Uma piscina de 50.000 litros encontra-se com uma concentração de cloro de
no momento em que é ligada uma bomba que coloca nesta piscina água com concentração de cloro de 0, 10% a uma taxa de 1000 litros por hora. Ao mesmo tempo uma segunda bomba retira água da piscina à mesma taxa de 1000 litros por hora. Suponha que o cloro misture-se a água da piscina instantaneamente. Deseja-se que a concentração de cloro nesta piscina alcance
. Deduza a equação diferencial que governa este processo e calcule quanto tempo é necessário para que isto ocorra?
Passo 1
O enunciado apresenta uma piscina de
L com concentração inicial de cloro de
. Entra água a
L/h com concentração de
e sai a mesma vazão, misturando-se instantaneamente. Queremos que a concentração atinja
. O conteúdo é um problema de mistura que leva a uma equação diferencial linear de primeira ordem, obtida por
Passo 2
Defina
como a quantidade de cloro (em litros de cloro puro) na piscina no instante
(horas).
- A taxa de entrada de cloro é
- A taxa de saída de cloro é a fração de cloro na piscina vezes a vazão de saída, ou seja
Logo a equação diferencial é
Passo 3
Para resolver
usamos o fator integrante
, obtendo
Integrando,
Como
, vem
, isto é
. Portanto
Passo 4
Queremos concentração de
, ou seja
. Igualando:
Resposta
O tempo necessário é