Questão 3. Uma piscina de 50.000 litros encontra-se com uma concentração de cloro de 0,02 % no momento em que é ligada uma bomba que coloca nesta piscina água com concentração de cloro de 0, 10% a uma taxa de 1000 litros por hora. Ao mesmo tempo uma segunda bomba retira água da piscina à mesma taxa de 1000 litros por hora. Suponha que o cloro misture-se a água da piscina instantaneamente. Deseja-se que a concentração de cloro nesta piscina alcance 0,06 %. Deduza a equação diferencial que governa este processo e calcule quanto tempo é necessário para que isto ocorra?

Passo 1

O enunciado apresenta uma piscina de 50,000 L com concentração inicial de cloro de 0,02%. Entra água a 1,000 L/h com concentração de 0,10% e sai a mesma vazão, misturando-se instantaneamente. Queremos que a concentração atinja 0,06%. O conteúdo é um problema de mistura que leva a uma equação diferencial linear de primeira ordem, obtida por
dxdt = taxa de entrada - taxa de saída í

Passo 2

Defina x(t) como a quantidade de cloro (em litros de cloro puro) na piscina no instante t (horas).
  • A taxa de entrada de cloro é
1000;tfracLhtimes 0,001 =1;tfracL cloroh
  • A taxa de saída de cloro é a fração de cloro na piscina vezes a vazão de saída, ou seja
1000;tfracLhtimesx(t)50000 =150,x(t)
Logo a equação diferencial é
dxdt = 1 - 150,x

Passo 3

Para resolver
dxdt + 150x = 1
usamos o fator integrante mu(t)=e^t/50, obtendo
ddtl(xe^t/50r)=e^t/50
Integrando,
x,e^t/50 = 50,e^t/50 + C Longrightarrow x(t)=50 + C,e^-t/50
Como x(0)=0,0002times50000=10, vem 10=50+C, isto é C=-40. Portanto
x(t)=50 - 40,e^-t/50

Passo 4

Queremos concentração de 0,06%, ou seja x=0,0006times50000=30. Igualando:
30 = 50 - 40,e^-t/50 Longrightarrow e^-t/50=tfrac12 Longrightarrow -t/50=lntfrac12 Longrightarrow t=50ln2approx34,66

Resposta

O tempo necessário é
t = 50,ln 2 approx 34,66 horas

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