QUESTÃO 5
Seja
O valor de
é igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função depende de três variáveis
. - A operação solicitada é uma derivada parcial mista: derivar primeiro em relação a
e depois em relação a (notação ). - As funções elementares envolvidas são
e .
Passo 2
Calcular
.
Regra prática: ao calcular uma derivada parcial em relação a uma variável (aqui ), todas as outras variáveis (
e
) são tratadas como constantes. Use a regra da cadeia para
: a derivada de
em relação a
é
. Aqui
e
. Portanto,
Regra prática: ao calcular uma derivada parcial em relação a uma variável (aqui
Ou seja,
Passo 3
Calcular
.
Agora vamos derivar em relação a a função obtida no passo anterior. A expressão é
. Ao derivar em relação a
,
e
são constantes, e
é uma constante multiplicativa (pois depende somente de
e
). A derivada de
em relação a
é
. Assim,
Agora vamos derivar em relação a
Portanto
Passo 4
Verificação rápida com a outra ordem (por simetria das derivadas parciais contínuas): calcular
e então
disso dá novamente
. Confere com o resultado do passo anterior.
Resposta
(E)