QUESTÃO 5

Seja
g(r, s, t)=e^{r} \operatorname{sen}(s t) .
O valor de \frac{\partial^{2} g}{\partial r \partial t} é igual a
(A) e^{r}(\cos (s t)-s t \operatorname{sen}(s t))
(B) e^{r}(\operatorname{sen}(s t)+s t \cos (s t))
(C) e^{r}(\cos (s t)+s t \operatorname{sen}(s t))
(D) t e^{r} \cos (s t)
(E) s e^{r} \cos (s t)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(r,s,t)=e^{r}\operatorname{sen}(s t)
e pede o valor de
\frac{\partial^{2}g}{\partial r\partial t}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função depende de três variáveis (r,s,t).
  • A operação solicitada é uma derivada parcial mista: derivar primeiro em relação a t e depois em relação a r (notação \dfrac{\partial^{2}g}{\partial r\partial t}=\dfrac{\partial}{\partial r}\!\big(\dfrac{\partial g}{\partial t}\big)).
  • As funções elementares envolvidas são e^{r} e \operatorname{sen}(s t).

Passo 2

Calcular \dfrac{\partial g}{\partial t}.
Regra prática: ao calcular uma derivada parcial em relação a uma variável (aqui t), todas as outras variáveis ( r e s) são tratadas como constantes. Use a regra da cadeia para \operatorname{sen}(s t): a derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a t é \cos(u)\cdot \dfrac{du}{dt}. Aqui u=s t e \dfrac{du}{dt}=s. Portanto,
\frac{\partial g}{\partial t} = e^{r}\cdot \frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen}(s t)\big) = e^{r}\cdot \cos(s t)\cdot s.
Ou seja,
\frac{\partial g}{\partial t}=s\,e^{r}\cos(s t).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(\dfrac{\partial g}{\partial t}\right).
Agora vamos derivar em relação a r a função obtida no passo anterior. A expressão é s\,e^{r}\cos(s t). Ao derivar em relação a r, s e t são constantes, e \cos(s t) é uma constante multiplicativa (pois depende somente de s e t). A derivada de e^{r} em relação a r é e^{r}. Assim,
\frac{\partial}{\partial r}\!\left(s\,e^{r}\cos(s t)\right) = s\cos(s t)\cdot \frac{d}{dr}\big(e^{r}\big) = s\cos(s t)\cdot e^{r}.
Portanto
\frac{\partial^{2}g}{\partial r\partial t}=s\,e^{r}\cos(s t).

Passo 4

Verificação rápida com a outra ordem (por simetria das derivadas parciais contínuas): calcular \dfrac{\partial g}{\partial r}=e^{r}\operatorname{sen}(s t) e então \dfrac{\partial}{\partial t} disso dá novamente s\,e^{r}\cos(s t). Confere com o resultado do passo anterior.

Resposta

(E)

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