QUESTÃO 6

Seja
z=y e^{x}+x e^{y}, \quad x=t, \quad y=\operatorname{sen} t .
então o valor de
\left.\frac{d z}{d t}\right|_{t=0}
é igual a
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) e
(E) 2 e

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo retirado do enunciado):
  • Função definida implicitamente por z=y e^{x}+x e^{y}.
  • Relação entre as variáveis: x=t e y=\sin t.
  • O que se pede: calcular \left.\dfrac{dz}{dt}\right|_{t=0}, isto é, a derivada de z em relação a t, avaliada em t=0.

Passo 2

Entendendo as quantidades que vamos derivar (noções necessárias, explicadas com calma).
  • Aqui z depende de x e y: z=z(x,y).
  • As variáveis x e y dependem de t: x=x(t) e y=y(t).
  • Para calcular \dfrac{dz}{dt} usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis (a forma prática será aplicada nos próximos passos).
    Antes de aplicar a regra da cadeia, vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de z.
  • Lembrando: ao derivar parcialmente em relação a x, tratamos y como constante; ao derivar parcialmente em relação a y, tratamos x como constante.
  • Começando por \dfrac{\partial z}{\partial x}:
z = y e^{x} + x e^{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} = y e^{x} + e^{y}.
Explicação: \dfrac{d}{dx}(y e^{x}) = y e^{x} porque y é constante na derivada parcial; \dfrac{d}{dx}(x e^{y})=e^{y} porque e^{y} é constante e \dfrac{d}{dx}x=1.
  • Agora \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x} + x e^{y}.
Explicação: \dfrac{d}{dy}(y e^{x})=e^{x} e \dfrac{d}{dy}(x e^{y})=x e^{y}.

Passo 4

Derivadas de x(t) e y(t).
  • Dado x(t)=t, temos
\frac{dx}{dt}=1.
  • Dado y(t)=\sin t, temos
\frac{dy}{dt}=\cos t.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia (fórmula e substituições).
  • A regra da cadeia para z(x(t),y(t)) é
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
  • Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}, \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}:
\frac{dz}{dt}=\bigl(y e^{x}+e^{y}\bigr)\cdot 1 + \bigl(e^{x}+x e^{y}\bigr)\cdot\cos t.
  • Agora substituir x=t e y=\sin t:
\frac{dz}{dt}=\sin t\,e^{t}+e^{\sin t}+\bigl(e^{t}+t e^{\sin t}\bigr)\cos t.

Passo 6

Avaliação em t=0 (fazer contas passo a passo, sem pular etapas).
  • Calcular os valores das funções em t=0:
\sin 0=0,\qquad \cos 0=1,\qquad e^{0}=1,\qquad e^{\sin 0}=e^{0}=1.
  • Substituindo em
\frac{dz}{dt}\Big|_{t=0}=\sin 0\cdot e^{0}+e^{\sin 0}+\bigl(e^{0}+0\cdot e^{\sin 0}\bigr)\cos 0
obtemos
\frac{dz}{dt}\Big|_{t=0}=0\cdot1+1+(1+0)\cdot1=0+1+1=2.

Resposta

2

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