z=y e^{x}+x e^{y}, \quad x=t, \quad y=\operatorname{sen} t .
então o valor de
\left.\frac{d z}{d t}\right|_{t=0}
é igual a
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) e
(E) 2 e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo retirado do enunciado):
Função definida implicitamente por z=y e^{x}+x e^{y}.
Relação entre as variáveis: x=t e y=\sin t.
O que se pede: calcular \left.\dfrac{dz}{dt}\right|_{t=0}, isto é, a derivada de z em relação a t, avaliada em t=0.
Passo 2
Entendendo as quantidades que vamos derivar (noções necessárias, explicadas com calma).
Aqui z depende de x e y: z=z(x,y).
As variáveis x e y dependem de t: x=x(t) e y=y(t).
Para calcular \dfrac{dz}{dt} usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis (a forma prática será aplicada nos próximos passos).
Antes de aplicar a regra da cadeia, vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de z.
Lembrando: ao derivar parcialmente em relação a x, tratamos y como constante; ao derivar parcialmente em relação a y, tratamos x como constante.
Começando por \dfrac{\partial z}{\partial x}:
z = y e^{x} + x e^{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} = y e^{x} + e^{y}.
Explicação: \dfrac{d}{dx}(y e^{x}) = y e^{x} porque y é constante na derivada parcial; \dfrac{d}{dx}(x e^{y})=e^{y} porque e^{y} é constante e \dfrac{d}{dx}x=1.
Agora \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x} + x e^{y}.
Explicação: \dfrac{d}{dy}(y e^{x})=e^{x} e \dfrac{d}{dy}(x e^{y})=x e^{y}.
Passo 4
Derivadas de x(t) e y(t).
Dado x(t)=t, temos
\frac{dx}{dt}=1.
Dado y(t)=\sin t, temos
\frac{dy}{dt}=\cos t.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia (fórmula e substituições).