(Questão 3) Uma plataforma circular de raio
e massa
gira a uma velocidade angular igual a
em torno do seu eixo de simetria. Uma pequena bola feita de massa de modelar cai na borda da plataforma e fica fixa na mesma. Considerando-se que a massa de modelar tem massa
, calcule a velocidade angular final do sistema. Lembre-se de o momento de inércia de um disco homogêneo é dado por
em relação ao seu centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que fala sobre movimento de rotação. A situação é a seguinte: uma plataforma circular está girando com uma certa velocidade angular, e uma bolinha de modelar cai na borda e fica presa. A gente precisa descobrir qual será a nova velocidade de rotação depois que a bolinha ficar presa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula para um disco homogêneo é $ I = \frac{m R^2}{2} $, onde $ m $ é a massa e $ R $ é o raio.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia da plataforma antes da bolinha cair. Sabemos que:
- Massa da plataforma ($ M $) = 500 g = 0,5 kg
- Raio ($ R $) = 10 cm = 0,1 m
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos considerar a bolinha que cai na plataforma. Ela é uma massa pontual presa à borda, então o momento de inércia dela é dado por:
Onde:
- Massa da bolinha ($ m $) = 100 g = 0,1 kg
- Raio ($ R $) = 0,1 m
Calculando:
Passo 5
O próximo passo é usar a conservação do momento angular. Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular antes da bolinha cair é igual ao momento angular depois.
Onde:
- $ I_{inicial} = 0,0025 , kg·m^2 $
- $ \omega_{inicial} = 30 , rad/s $
- $ I_{final} = I_{plataforma} + I_{bolinha} = 0,0025 + 0,001 = 0,0035 , kg·m^2 $
- $ \omega_{final} $ é o que queremos encontrar
Passo 6
Agora, isolamos $ \omega_{final} $:
Resposta
A velocidade angular final do sistema é aproximadamente $ 21,43 , rad/s $.