Questão 8 (1 ponto) - Ache todas as matrizes B que comutam (sob multiplicação de matrizes) \operatorname{com} A= \left[\begin{array}{cc}-5 & -3 \\\\ -1 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as matrizes B de ordem 2\times2 que satisfazem
AB = BA
para
A = \begin{pmatrix}-5 & -3 \\[6pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é o estudo do centralizador de A. Em dimensão 2, se A tiver autovalores distintos, o conjunto de todas as matrizes que comutam com A é precisamente o espaço gerado por I e A. Vamos mostrar isso calculando o polinômio característico de A.]

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-5-\lambda & -3 \\[3pt] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (-5-\lambda)(2-\lambda) - (-3)(-1) = \lambda^2 + 3\lambda - 13.
O discriminante é
\Delta = 3^2 + 4\cdot13 = 9 + 52 = 61 \neq 0,
logo A tem dois autovalores reais distintos e, consequentemente, é diagonalizável sobre \mathbb{R}.]

Passo 3

Um teorema de álgebra linear afirma que, para uma matriz diagonalizável com autovalores distintos, seu centralizador é exatamente o espaço dos polinômios nela mesma. Assim, toda matriz B que comuta com A pode ser escrita como
B = \alpha I + \beta A,
onde \alpha e \beta são escalares reais.

Passo 4

Para evidenciar os elementos de B, somamos \alpha I a \beta A:
B = \alpha \begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}-5&-3\\[3pt]-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha - 5\beta & -3\beta \\[3pt] -\beta & \alpha + 2\beta \end{pmatrix},
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.]

Resposta

Todas as matrizes B que comutam com A são dadas por
B = \begin{pmatrix} \alpha - 5\beta & -3\beta \\[3pt] -\beta & \alpha + 2\beta \end{pmatrix},
onde \alpha e \beta são parâmetros reais quaisquer.]

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