Questão 7 (1 ponto) (a) Mostre que se D=\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right] é uma matriz diagonal 2 \times 2 com a \neq b, então as únicas matrizes que comutam (sob multiplicação de matrizes) \operatorname{com} D são outras matrizes diagonais 2 \times 2. (b) E se a= b ? (c) Encontre todas as matrizes que comutam com D=\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & 0 \\\\ 0 & 0 & c\end{array}\right], onde a, b, c são todas diferentes. (d) Responda à mesma pergunta para o caso em que a \neq b=c. (e) Prove que uma matriz A comuta com uma matriz diagonal \mathrm{n} \times \mathrm{n} D com todas as entradas diagonais distintas se e somente se A for uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado trata de encontrar todas as matrizes X tais que DX=XD, onde D é diagonal. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e igualar as entradas de DX e XD.
Passo 2
Caso (a): D=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&b\end{pmatrix} com a\neq b. Seja
X=\begin{pmatrix}x&y\z&w\end{pmatrix}.
Calculamos
DX=\begin{pmatrix}a x & a y\\\ b z & b w\end{pmatrix}, \quad XD=\begin{pmatrix}x a & y b\\\ z a & w b\end{pmatrix}.
Igualando as entradas, obtemos
a x = x a,\quad a y = y b,\quad b z = z a,\quad b w = w b.
As duas primeiras são triviais e a última também. Das duas do meio vem
(a - b)\,y = 0,\quad (b - a)\,z = 0.
Como a\neq b, segue y=0 e z=0. Logo
X=\begin{pmatrix}x&0\\\ 0&w\end{pmatrix},
ou seja, X é diagonal.
Passo 3
Caso (b): se a=b, então
D=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&a\end{pmatrix}=a\,I.
Qualquer matriz X satisfaz aI\cdot X=X\cdot aI. Portanto, o conjunto das matrizes que comutam com D é toda M_2(\Bbb R).
Passo 4
Caso (c): D=\diag(a,b,c) com a,b,c todos diferentes. Seja
X=(x_{ij})_{i,j=1}^3.
A condição DX=XD dá, para cada i\neq j,
(d_i-d_j)\,x_{ij}=0,
onde d_1=a, d_2=b, d_3=c. Como todos os d_i são distintos, d_i-d_j\neq0 e então x_{ij}=0 para i\neq j. Logo X\text{ é diagonal.}é
Passo 5
Caso (d): D=\diag(a,b,b) com a\neq b. Ainda escrevemos X=(x_{ij}). Das condições
(a-b)\,x_{1j}=0\quad(j=2,3)
vem x_{12}=x_{13}=0. Para as posições dentro do bloco de valor b temos (b-b)x_{23}=0 que é sempre verdadeiro, então x_{23} e x_{32} são livres. Concluímos
isto é, qualquer matriz em bloco \begin{pmatrix}x_{11}\end{pmatrix}\oplus M_2.
Passo 6
Caso (e): D=\diag(d_1,\dots,d_n) com todos os d_i distintos. Para uma matriz A=(a_{ij}) temos
(D A)_{ij} = d_i\,a_{ij},\quad (A D)_{ij}=a_{ij}\,d_j,
e a igualdade impõe (d_i-d_j)\,a_{ij}=0. Como d_i\neq d_j para i\neq j, segue a_{ij}=0 sempre que i\neq j. Assim A é diagonal. Recíprocamente, toda diagonal comuta com D.
Resposta
(a) As únicas matrizes em M_2 que comutam com \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&b\end{pmatrix} a\neq b são as diagonais.
(b) Se a=b, D=aI comuta com toda matriz 2\times2.
(c) Se D=\diag(a,b,c) com a,b,c distintos, o comutante é o conjunto de todas as matrizes diagonais 3\times3.
(d) Se D=\diag(a,b,b) com a\neq b, o comutante é o bloco \begin{pmatrix}*\end{pmatrix}\oplus M_2.
(e) Em dimensão n, D diagonal com entradas todas distintas comuta apenas com matrizes diagonais, e vice-versa.