Questão 2: Seja
W=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}): b+d=c \quad\right. e \left.\quad a=0\right\}
um subconjunto do \mathbb{R}-espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}).
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que W é um subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).
(b) (1,0 ponto) Determine uma base para W.

Passo 1

O enunciado define
W=\Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) : a=0,\;b+d=c\Bigr\}
e pede:
(a) mostrar que W é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R});
(b) determinar uma base de W.

Passo 2

Para ver que W contém o vetor zero e é fechado sob soma, note:
– A matriz zero é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
aqui a=0 e b+d=0+0=0=c, logo 0\in W.
– Se \displaystyle X=\begin{pmatrix}0 & b_1\c_1 & d_1\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}0 & b_2\c_2 & d_2\end{pmatrix} estão em W, então c_1=b_1+d_1 e c_2=b_2+d_2. A soma é
X+Y=\begin{pmatrix}0 & b_1+b_2\\\ c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}
com c_1+c_2=(b_1+d_1)+(b_2+d_2)=(b_1+b_2)+(d_1+d_2), logo X+Y\in W.

Passo 3

Para fechamento por escalar, seja \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda X =\lambda\begin{pmatrix}0 & b_1\c_1 & d_1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & \lambda b_1\\\ \lambda c_1 & \lambda d_1\end{pmatrix}.
Como c_1=b_1+d_1, temos \lambda c_1=\lambda b_1+\lambda d_1, logo \lambda X\in W. Assim W é subespaço.

Passo 4

Para achar uma base, escrevemos uma matriz genérica de W em função de parâmetros livres. Se
\begin{pmatrix}0 & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in W,
então c=b+d, logo
\begin{pmatrix}0 & b\\\ c & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & b\\\ b+d & d\end{pmatrix} =b\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Os dois vetores
E_1=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad E_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix}
são linearmente independentes e geram W.

Resposta

(a) W é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).
(b) Uma base de W é
\Bigl\{\,\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix}\Bigr\}.

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