Uma esfera condutora isolada de raio R é carregada até o potencial V e girada em torno de um diâmetro com velocidade angular \omega.
(a) Encontre a indução magnética B no centro da esfera. (b) Qual é o momento magnético da esfera em rotação?

Passo 1

O enunciado dá: uma esfera condutora isolada de raio R está carregada até o potencial V (referido ao infinito) e gira em torno de um diâmetro com velocidade angular \omega. As perguntas são:
  1. (a) Qual a indução magnética \mathbf{B} no centro da esfera?
  2. (b) Qual o momento magnético \mathbf{m} da esfera em rotação?
Informações relevantes dadas (que vamos usar): o raio R, o potencial V da esfera (condutora), e a velocidade angular \omega. A esfera é condutora e a carga se distribui na superfície.

Passo 2

Primeiro precisamos do total de carga Q da esfera, expressa em termos de V e R. Para uma esfera condutora isolada, o potencial na superfície é igual ao potencial devido a uma carga pontual Q no centro, ou seja
V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Resolvendo para Q obtemos
Q = 4\pi\varepsilon_0 R V.
Explicação didática: essa fórmula vem do potencial elétrico de uma carga pontual Q a uma distância R, V=Q/(4\pi\varepsilon_0 R). Como a esfera condutora tem potencial uniforme, é como se toda a carga estivesse concentrada no centro para calcular V.

Passo 3

Como a carga está sobre a superfície (esfera condutora), a densidade superficial de carga é uniforme e vale
\sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}.
Substituindo Q da etapa anterior,
\sigma=\frac{4\pi\varepsilon_0 R V}{4\pi R^2}=\frac{\varepsilon_0 V}{R}.
Explicação: \sigma é carga por unidade de área; a área da esfera é 4\pi R^2.

Passo 4

Agora vamos obter a densidade de corrente superficial \mathbf{K} causada pela rotação da superfície carregada. Cada ponto da superfície descreve um movimento circular com velocidade tangencial de módulo
v(\theta)=\omega R\sin\theta,
onde \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo de rotação. A corrente superficial (corrente por unidade de comprimento) é carga por unidade de área vezes velocidade tangencial, na direção azimutal \hat{\boldsymbol\varphi}:
\mathbf{K}(\theta)=\sigma\,v(\theta)\,\hat{\boldsymbol\varphi} =\sigma\,\omega R\sin\theta\;\hat{\boldsymbol\varphi}.
Direção: \hat{\boldsymbol\varphi} segue a rotação; o sentido relativo a \boldsymbol{\omega} é dado pela regra da mão direita.
Explicação didática: pensar em uma linha de carga que passa por um elemento de superfície: a quantidade de carga que passa por essa “linha” por unidade de tempo é \sigma v, o que define \mathbf{K}.

Passo 5

Vamos calcular o momento magnético \mathbf{m} da distribuição de corrente superficial. Para uma corrente superficial \mathbf{K} numa superfície S a fórmula do momento magnético é
\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int_{S}\mathbf{r}'\times\mathbf{K}\,dS,
onde \mathbf{r}' é o vetor posição do elemento de superfície (medido a partir do centro). Vamos calcular \mathbf{m} explicitamente para o eixo de rotação z (apenas a componente m_z sobreviverá por simetria).
Escolhendo coordenadas esféricas, \mathbf{r}'=R\hat{\mathbf r}, \mathbf{K}=\sigma\omega R\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi} e dS=R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi. O produto vetorial
\mathbf{r}'\times\mathbf{K}=R\hat{\mathbf r}\times\big(\sigma\omega R\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi}\big) = \sigma\omega R^2\sin\theta\;(\hat{\mathbf r}\times\hat{\boldsymbol\varphi}).
Usando identidades de versores esféricos, \hat{\mathbf r}\times\hat{\boldsymbol\varphi}=-\hat{\boldsymbol\theta}. Então
\mathbf{r}'\times\mathbf{K}=-\sigma\omega R^2\sin\theta\;\hat{\boldsymbol\theta}.
Queremos a componente z dessa quantidade. O componente z do versor \hat{\boldsymbol\theta} é (\hat{\boldsymbol\theta})_z=-\sin\theta. Portanto a componente z do integrando é
\big(\mathbf{r}'\times\mathbf{K}\big)_z = -\sigma\omega R^2\sin\theta\;(\hat{\boldsymbol\theta})_z = -\sigma\omega R^2\sin\theta\;(-\sin\theta) = \sigma\omega R^2\sin^2\theta.
Agora integramos sobre a superfície:
m_z=\frac{1}{2}\int_{S}\big(\mathbf{r}'\times\mathbf{K}\big)_z\,dS =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sigma\omega R^2\sin^2\theta\;R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Simplificando:
m_z=\frac{1}{2}\sigma\omega R^4\;2\pi\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta.
Calculemos a integral:
\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta =2\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta\,d\theta =2\left[\frac{2}{3}\right]=\frac{4}{3},
pois \int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta\,d\theta=2/3 (pode-se usar \sin^3\theta=\sin\theta(1-\cos^2\theta) e u=\cos\theta). Assim
m_z=\frac{1}{2}\sigma\omega R^4\;2\pi\cdot\frac{4}{3} =\frac{4\pi}{3}\sigma\omega R^4.
Substituindo \sigma=Q/(4\pi R^2) obtemos
m_z=\frac{4\pi}{3}\cdot\frac{Q}{4\pi R^2}\,\omega R^4=\frac{Q\omega R^2}{3}.
Portanto o momento magnético vetorial é
\mathbf{m}=\frac{Q\omega R^2}{3}\,\hat{\boldsymbol\omega},
onde \hat{\boldsymbol\omega} é o versor na direção do eixo de rotação (ou seja, do vetor \boldsymbol\omega). Substituindo Q=4\pi\varepsilon_0 R V (Passo 2) temos a forma em termos de V:
\mathbf{m}=\frac{4\pi\varepsilon_0 R V\,\omega R^2}{3}\,\hat{\boldsymbol\omega} =\frac{4\pi\varepsilon_0 \omega V R^3}{3}\,\hat{\boldsymbol\omega}.
Comentário didático: o resultado para uma casca esférica finita (\propto 1/3) é diferente do da esfera maciça uniformemente carregada (\propto 1/5); aqui usamos a distribuição superficial.

Passo 6

Agora obtemos \mathbf{B} no centro. A distribuição de corrente na superfície da esfera corresponde à corrente ligada de uma esfera uniformemente magnetizada com magnetização \mathbf{M} constante tal que a corrente ligada de superfície \mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{\mathbf n} coincida com nossa \mathbf{K}. Comparando os formatos obtemos
\mathbf{M}=\sigma\omega R\,\hat{\boldsymbol\omega}.
Para uma esfera uniformemente magnetizada com magnetização \mathbf{M}, o campo magnético interno (no centro e em toda a região interna) é uniforme e vale
\mathbf{B}_{\text{interno}}=\frac{2}{3}\mu_0\mathbf{M},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. Substituindo \mathbf{M} obtemos
\mathbf{B}(0)=\frac{2}{3}\mu_0(\sigma\omega R)\,\hat{\boldsymbol\omega}.
Substituindo \sigma=\varepsilon_0 V/R (Passo 3) ou \sigma=Q/(4\pi R^2) obtemos formas alternativas. Usando \sigma=\varepsilon_0 V/R:
\mathbf{B}(0)=\frac{2}{3}\mu_0\varepsilon_0 V\omega\;\hat{\boldsymbol\omega}.
Usando Q em vez de V:
\mathbf{B}(0)=\frac{\mu_0 Q\omega}{6\pi R}\;\hat{\boldsymbol\omega}.
Também é fácil verificar consistência com o momento magnético: substituindo \mathbf{m} na relação
\mathbf{B}(0)=\frac{\mu_0\mathbf{m}}{2\pi R^3},
obtém-se a mesma expressão (basta substituir \mathbf{m}=(Q\omega R^2/3)\hat{\boldsymbol\omega}).
Direção: \mathbf{B} aponta ao longo do eixo de rotação, no sentido de \boldsymbol\omega para carga positiva (regra da mão direita).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}(0)=\frac{2}{3}\mu_0\varepsilon_0 V\omega\;\hat{\boldsymbol\omega} =\frac{\mu_0 Q\omega}{6\pi R}\;\hat{\boldsymbol\omega}.\n
(b) \displaystyle \mathbf{m}=\frac{Q\omega R^2}{3}\;\hat{\boldsymbol\omega} =\frac{4\pi\varepsilon_0 \omega V R^3}{3}\;\hat{\boldsymbol\omega}.

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