Uma esfera condutora isolada de raio
é carregada até o potencial
e girada em torno de um diâmetro com velocidade angular
.
(a) Encontre a indução magnética B no centro da esfera. (b) Qual é o momento magnético da esfera em rotação?
(a) Encontre a indução magnética B no centro da esfera. (b) Qual é o momento magnético da esfera em rotação?
Passo 1
O enunciado dá: uma esfera condutora isolada de raio
está carregada até o potencial
(referido ao infinito) e gira em torno de um diâmetro com velocidade angular
. As perguntas são:
- (a) Qual a indução magnética
no centro da esfera? - (b) Qual o momento magnético
da esfera em rotação?
Informações relevantes dadas (que vamos usar): o raio
, o potencial
da esfera (condutora), e a velocidade angular
. A esfera é condutora e a carga se distribui na superfície.
Passo 2
Primeiro precisamos do total de carga
da esfera, expressa em termos de
e
. Para uma esfera condutora isolada, o potencial na superfície é igual ao potencial devido a uma carga pontual
no centro, ou seja
Aqui
é a permissividade do vácuo. Resolvendo para
obtemos
Explicação didática: essa fórmula vem do potencial elétrico de uma carga pontual
a uma distância
,
. Como a esfera condutora tem potencial uniforme, é como se toda a carga estivesse concentrada no centro para calcular
.
Passo 3
Como a carga está sobre a superfície (esfera condutora), a densidade superficial de carga é uniforme e vale
Substituindo
da etapa anterior,
Explicação:
é carga por unidade de área; a área da esfera é
.
Passo 4
Agora vamos obter a densidade de corrente superficial
causada pela rotação da superfície carregada. Cada ponto da superfície descreve um movimento circular com velocidade tangencial de módulo
onde
é o ângulo polar medido a partir do eixo de rotação. A corrente superficial (corrente por unidade de comprimento) é carga por unidade de área vezes velocidade tangencial, na direção azimutal
:
Direção:
segue a rotação; o sentido relativo a
é dado pela regra da mão direita.
Explicação didática: pensar em uma linha de carga que passa por um elemento de superfície: a quantidade de carga que passa por essa “linha” por unidade de tempo é
, o que define
.
Passo 5
Vamos calcular o momento magnético
da distribuição de corrente superficial. Para uma corrente superficial
numa superfície
a fórmula do momento magnético é
onde
é o vetor posição do elemento de superfície (medido a partir do centro). Vamos calcular
explicitamente para o eixo de rotação
(apenas a componente
sobreviverá por simetria).
Escolhendo coordenadas esféricas,
,
e
. O produto vetorial
Usando identidades de versores esféricos,
. Então
Queremos a componente
dessa quantidade. O componente
do versor
é
. Portanto a componente
do integrando é
Agora integramos sobre a superfície:
Simplificando:
Calculemos a integral:
pois
(pode-se usar
e
). Assim
Substituindo
obtemos
Portanto o momento magnético vetorial é
onde
é o versor na direção do eixo de rotação (ou seja, do vetor
). Substituindo
(Passo 2) temos a forma em termos de
:
Comentário didático: o resultado para uma casca esférica finita
é diferente do da esfera maciça uniformemente carregada
; aqui usamos a distribuição superficial.
Passo 6
Agora obtemos
no centro. A distribuição de corrente na superfície da esfera corresponde à corrente ligada de uma esfera uniformemente magnetizada com magnetização
constante tal que a corrente ligada de superfície
coincida com nossa
. Comparando os formatos obtemos
Para uma esfera uniformemente magnetizada com magnetização
, o campo magnético interno (no centro e em toda a região interna) é uniforme e vale
onde
é a permeabilidade do vácuo. Substituindo
obtemos
Substituindo
(Passo 3) ou
obtemos formas alternativas. Usando
:
Usando
em vez de
:
Também é fácil verificar consistência com o momento magnético: substituindo
na relação
obtém-se a mesma expressão (basta substituir
).
Direção:
aponta ao longo do eixo de rotação, no sentido de
para carga positiva (regra da mão direita).
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)