Questão 3 (1 ponto cada) Calcule o limite. Respostas sem justificativa são anuladas.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(3 x+1-\sqrt{9 x^{2}-x+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \infty}\bigl(3x + 1 - \sqrt{9x^2 - x + 1}\bigr).
O conteúdo envolvido é limite no infinito de expressão com raiz quadrada, e uma técnica padrão é racionalizar usando o conjugado.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada 3x + 1 + \sqrt{9x^2 - x + 1}:
3x + 1 - \sqrt{9x^2 - x + 1} = \frac{\bigl(3x + 1 - \sqrt{9x^2 - x + 1}\bigr)\bigl(3x + 1 + \sqrt{9x^2 - x + 1}\bigr)} {3x + 1 + \sqrt{9x^2 - x + 1}}.
No numerador temos
(3x+1)^2 - \bigl(9x^2 - x + 1\bigr) = \bigl(9x^2 + 6x + 1\bigr) - \bigl(9x^2 - x + 1\bigr) = 7x.

Passo 3

Portanto a expressão vira
\frac{7x}{3x + 1 + \sqrt{9x^2 - x + 1}}.
Para x \to \infty dividimos numerador e denominador por x:
\frac{7}{3 + \tfrac{1}{x} + \sqrt{9 - \tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x^2}}} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\; \frac{7}{3 + 0 + 3} = \frac{7}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{6}

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