Questão 01. Calcule as seguintes integrais (2,0 pontos ) \int \frac{2 x+3}{x^{2}-5 x+6} \mathrm{~d} x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x+3}{x^{2}-5x+6}\,\mathrm{d}x.
O que precisamos aqui é de frações parciais, pois o denominador é um polinômio de segundo grau que se fatora em fatores lineares.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador e escrever a decomposição em frações parciais.
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).
Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que
\[\frac{2x+3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}.
Isso implica
2x+3 = A(x-3) + B(x-2) = (A+B)x \;-\;(3A+2B).
Comparando coeficientes de x e termo constante:
\begin{cases} A + B = 2,\\\\ -3A - 2B = 3. \end{cases}
Da primeira equação (A = 2 - B]. Substituindo na segunda: -3(2 - B) - 2B = 3 \quad\Longrightarrow\quad -6 +3B -2B = 3 \quad\Longrightarrow\quad B = 9,
logo A = 2 - 9 = -7.