Questão 01. Calcule as seguintes integrais
(2,0 pontos ) \int \frac{2 x+3}{x^{2}-5 x+6} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x+3}{x^{2}-5x+6}\,\mathrm{d}x.
O que precisamos aqui é de frações parciais, pois o denominador é um polinômio de segundo grau que se fatora em fatores lineares.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador e escrever a decomposição em frações parciais.
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).
Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{2x+3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}.
Isso implica
2x+3 = A(x-3) + B(x-2) = (A+B)x \;-\;(3A+2B).
Comparando coeficientes de x e termo constante:
\begin{cases} A + B = 2,\\\\ -3A - 2B = 3. \end{cases}
Da primeira equação (A = 2 - B]. Substituindo na segunda:
-3(2 - B) - 2B = 3 \quad\Longrightarrow\quad -6 +3B -2B = 3 \quad\Longrightarrow\quad B = 9,
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A = 2 - 9 = -7.

Passo 3

Substituindo de volta na integral, temos
\int \frac{2x+3}{x^{2}-5x+6}\,\mathrm{d}x = \int \Bigl(\frac{-7}{x-2} + \frac{9}{x-3}\Bigr)\,\mathrm{d}x = -7 \int \frac{1}{x-2}\,\mathrm{d}x +9 \int \frac{1}{x-3}\,\mathrm{d}x.
Cada uma é um logaritmo natural:
-7 \int \frac{1}{x-2}\,\mathrm{d}x = -7 \ln\bigl|x-2\bigr|, \quad 9 \int \frac{1}{x-3}\,\mathrm{d}x = 9 \ln\bigl|x-3\bigr|.

Resposta

\int \frac{2x+3}{x^{2}-5x+6}\,\mathrm{d}x = -7 \ln\bigl|x-2\bigr| \;+\; 9 \ln\bigl|x-3\bigr| + C.

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