Questão 3 ( 1 ponto cada item). Considere a função
dada por
i) Determine o domínio da função e as intersecção com os eixos
e
, se houverem.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede cinco coisas separadas:
i) o domínio de e as interseções com os eixos
e
;
ii) os intervalos de crescimento/decrescimento e possíveis máximos/mínimos;
iii) os intervalos de concavidade (para cima/para baixo) e pontos de inflexão;
iv) as assíntotas (horizontais, verticais e inclinadas);
v) um esboço do gráfico.
As informações dadas são apenas a fórmula de . Não há figuras adicionais.
i) o domínio de
ii) os intervalos de crescimento/decrescimento e possíveis máximos/mínimos;
iii) os intervalos de concavidade (para cima/para baixo) e pontos de inflexão;
iv) as assíntotas (horizontais, verticais e inclinadas);
v) um esboço do gráfico.
As informações dadas são apenas a fórmula de
Passo 2
Domínio e interseções com os eixos — explicação passo a passo:
- Domínio: procurar valores de
que anulam o denominador. O denominador é . Como para todo , tem-se . Portanto o denominador nunca é zero, logo a função está definida para todo real. Assim o domínio é . - Interseção com o eixo
(raízes): resolvemos . A fração quando o numerador é zero, isto é quando , então . Logo há interseção em e o ponto é . - Interseção com o eixo
: é . Calculando, . Portanto a interseção com o eixo é também . - Observação útil (simetria): podemos checar
, então é função ímpar (simetria originária), o que simplifica o esboço: o gráfico é simétrico por rotação de em torno da origem.
Passo 3
Primeira derivada — explicando a técnica (regra do quociente) e calculando:
- Para estudar crescimento/decrescimento vamos calcular
. Uso a regra do quociente: se então
Aqui
e
. Calculamos
e
. Aplicando:
Agora simplifico o numerador:
Portanto a forma simplificada é
- Observação sobre o denominador:
para todo , então o sinal de depende apenas do numerador .
Passo 4
Críticos, sinais de
e monotonicidade — procedimento e interpretação:
- Zeros de
: resolvemos dando . Não há pontos onde seja indefinida, pois o denominador nunca zera. - Análise de sinal (uso do fato de que denom >0):
- Para
temos então (função crescente). - Para
temos então (função decrescente).
- Para
- Conclusão sobre intervalos:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
-
- Valores nos pontos críticos para classificar extremos: calcular
.
Passo 5
Classificação dos extremos usando mudança de sinal de
:
- Em
: à esquerda (em ) e à direita (em ) . Troca de sinal indica um máximo local. Logo temos máximo local em . - Em
: à esquerda e à direita . Troca de sinal indica um mínimo local. Logo temos mínimo local em .
Passo 6
Segunda derivada — técnica e cálculo (novamente regra do quociente, com simplificação):
- Parto de
. Posso aplicar novamente a regra do quociente com e . Então . Para uso a regra da cadeia: logo . - Aplicando a regra:
- Fatorando
no numerador:
Calcule o colchete:
Portanto
Passo 7
Concavidade e pontos de inflexão — análise de sinal de
:
- Zeros de
: resolver dá e . - Como o denominador
sempre, o sinal de é dado por . Faço um estudo por intervalos: - Para
: e → produto positivo → (concava para cima). - Para
: e → produto negativo → (concava para baixo). - Para
: e → produto positivo → (concava para cima). - Para
: e → produto negativo → (concava para baixo).
- Para
- Conclusões:
- Concava para cima em
. - Concava para baixo em
.
- Concava para cima em
- Pontos de inflexão: pontos onde
muda de sinal são . Calculo as ordenadas:
Logo os pontos de inflexão são
,
e
.
Passo 8
Assíntotas — como determinar e resultado:
- Assíntotas verticais: procuramos pontos onde a função explode (denominador zero). Como
para todo real, não há assíntotas verticais. - Assíntotas horizontais: calcular
. Para grandes ,
Portanto
e existe uma assíntota horizontal
.
- Assíntotas inclinadas: existem quando o grau do numerador é exatamente 1 maior que o do denominador (ou quando a razão tende a uma reta não nula). Aqui o grau do numerador é
e do denominador é , logo não há assíntota inclinada. (Também porque , não tende a uma reta não horizontal.)
Passo 9
Esboço do gráfico — pontos chave e instruções para desenhar:
- Pontos importantes para plotar:
- Interseção:
. - Máximo local:
. - Mínimo local:
. - Pontos de inflexão:
, , . - Alguns valores numéricos úteis (retirados por cálculo):
, , , , .
- Interseção:
- Comportamento global (para desenhar):
- Para
, (aproxima-se de por cima). - Cresce até atingir máximo em
, depois decresce passando por até o mínimo em , e depois cresce voltando a aproximar-se de por baixo quando . - Concavidades trocam em
conforme listado no passo anterior. - Graficamente, por ser função ímpar, a metade direita se obtém pela rotação de
da metade esquerda.
- Para
- Esses dados são suficientes para um esboço preciso: desenhe a assíntota
, marque os pontos citados e conecte respeitando os intervalos de monotonicidade e concavidade.
Resposta
i) Domínio:
. Interseções com os eixos:
-intercept e
-intercept em
.
ii) Crescente em . Decrescente em
. Máximo local em
. Mínimo local em
.
iii) Concava para cima em . Concava para baixo em
. Pontos de inflexão em
,
e
.
iv) Assíntotas: nenhuma vertical; assíntota horizontal ; nenhuma assíntota inclinada.
v) Esboço: gráfico passando por , máximo em
, mínimo em
, com assíntota horizontal
; concavidade e pontos de inflexão conforme item (iii); função ímpar (simetria ao redor da origem).
ii) Crescente em
iii) Concava para cima em
iv) Assíntotas: nenhuma vertical; assíntota horizontal
v) Esboço: gráfico passando por