Questão 3 ( 1 ponto cada item). Considere a função f dada por
f(x)=\frac{-x}{x^{2}+1}
i) Determine o domínio da função e as intersecção com os eixos x e y, se houverem.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{-x}{x^{2}+1}
e pede cinco coisas separadas:
i) o domínio de f e as interseções com os eixos x e y;
ii) os intervalos de crescimento/decrescimento e possíveis máximos/mínimos;
iii) os intervalos de concavidade (para cima/para baixo) e pontos de inflexão;
iv) as assíntotas (horizontais, verticais e inclinadas);
v) um esboço do gráfico.
As informações dadas são apenas a fórmula de f. Não há figuras adicionais.

Passo 2

Domínio e interseções com os eixos — explicação passo a passo:
  • Domínio: procurar valores de x que anulam o denominador. O denominador é x^{2}+1. Como x^{2}\ge 0 para todo x, tem-se x^{2}+1\ge 1>0. Portanto o denominador nunca é zero, logo a função está definida para todo real. Assim o domínio é \mathbb{R}.
  • Interseção com o eixo x (raízes): resolvemos f(x)=0. A fração \dfrac{-x}{x^{2}+1}=0 quando o numerador é zero, isto é quando -x=0, então x=0. Logo há interseção em x=0 e o ponto é (0,0).
  • Interseção com o eixo y: é f(0). Calculando, f(0)=\dfrac{0}{0+1}=0. Portanto a interseção com o eixo y é também (0,0).
  • Observação útil (simetria): podemos checar f(-x)= -(-x)/(x^{2}+1)=x/(x^{2}+1)=-f(x), então f é função ímpar (simetria originária), o que simplifica o esboço: o gráfico é simétrico por rotação de 180^\circ em torno da origem.

Passo 3

Primeira derivada — explicando a técnica (regra do quociente) e calculando:
  • Para estudar crescimento/decrescimento vamos calcular f'(x). Uso a regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x)=-x e v(x)=x^{2}+1. Calculamos u'(x)=-1 e v'(x)=2x. Aplicando:
f'(x)=\frac{(-1)(x^{2}+1)-(-x)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora simplifico o numerador:
(-1)(x^{2}+1)-(-x)(2x) = -x^{2}-1 + 2x^{2} = x^{2}-1.
Portanto a forma simplificada é
f'(x)=\frac{x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Observação sobre o denominador: (x^{2}+1)^{2}>0 para todo x, então o sinal de f'(x) depende apenas do numerador x^{2}-1.

Passo 4

Críticos, sinais de f' e monotonicidade — procedimento e interpretação:
  • Zeros de f': resolvemos x^{2}-1=0 dando x=\pm 1. Não há pontos onde f' seja indefinida, pois o denominador nunca zera.
  • Análise de sinal (uso do fato de que denom >0):
    • Para |x|>1 temos x^{2}-1>0 então f'(x)>0 (função crescente).
    • Para |x|<1 temos x^{2}-1<0 então f'(x)<0 (função decrescente).
  • Conclusão sobre intervalos:
    • f é crescente em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
    • f é decrescente em (-1,1).
  • Valores nos pontos críticos para classificar extremos: calcular f(\pm 1).
f(1)=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2},\qquad f(-1)=\frac{-(-1)}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Classificação dos extremos usando mudança de sinal de f':
  • Em x=-1: à esquerda (em (-\infty,-1)) f'>0 e à direita (em (-1,1)) f'<0. Troca de sinal +\to - indica um máximo local. Logo temos máximo local em \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Em x=1: à esquerda f'<0 e à direita f'>0. Troca de sinal -\to + indica um mínimo local. Logo temos mínimo local em \bigl(1,-\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 6

Segunda derivada — técnica e cálculo (novamente regra do quociente, com simplificação):
  • Parto de f'(x)=\dfrac{x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}}. Posso aplicar novamente a regra do quociente com u(x)=x^{2}-1 e v(x)=(x^{2}+1)^{2}. Então u'(x)=2x. Para v'(x) uso a regra da cadeia: v(x)=(x^{2}+1)^{2} logo v'(x)=2(x^{2}+1)\cdot 2x=4x(x^{2}+1).
  • Aplicando a regra:
f''(x)=\frac{2x\,(x^{2}+1)^{2}-(x^{2}-1)\,4x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}.
  • Fatorando 2x(x^{2}+1) no numerador:
\text{numerador}=2x(x^{2}+1)\bigl[(x^{2}+1)-2(x^{2}-1)\bigr].
Calcule o colchete:
(x^{2}+1)-2(x^{2}-1)=x^{2}+1-2x^{2}+2=3-x^{2}.
Portanto
f''(x)=\frac{2x(x^{2}+1)(3-x^{2})}{(x^{2}+1)^{4}} = \frac{2x(3-x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}.

Passo 7

Concavidade e pontos de inflexão — análise de sinal de f'':
  • Zeros de f'': resolver 2x(3-x^{2})=0 x=0 e x=\pm\sqrt{3}.
  • Como o denominador (x^{2}+1)^{3}>0 sempre, o sinal de f'' é dado por 2x(3-x^{2}). Faço um estudo por intervalos:
    • Para x<-\sqrt{3}: x<0 e 3-x^{2}<0 → produto positivo → f''>0 (concava para cima).
    • Para -\sqrt{3}<x<0: x<0 e 3-x^{2}>0 → produto negativo → f''<0 (concava para baixo).
    • Para 0<x<\sqrt{3}: x>0 e 3-x^{2}>0 → produto positivo → f''>0 (concava para cima).
    • Para x>\sqrt{3}: x>0 e 3-x^{2}<0 → produto negativo → f''<0 (concava para baixo).
  • Conclusões:
    • Concava para cima em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3}).
    • Concava para baixo em (-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty).
  • Pontos de inflexão: pontos onde f'' muda de sinal são x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}. Calculo as ordenadas:
f(0)=0, \qquad f(\sqrt{3})=\frac{-\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}+1}=\frac{-\sqrt{3}}{3+1}=-\frac{\sqrt{3}}{4}, \qquad f(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Logo os pontos de inflexão são \bigl(-\sqrt{3},\tfrac{\sqrt{3}}{4}\bigr), (0,0) e \bigl(\sqrt{3},-\tfrac{\sqrt{3}}{4}\bigr).

Passo 8

Assíntotas — como determinar e resultado:
  • Assíntotas verticais: procuramos pontos onde a função explode (denominador zero). Como x^{2}+1>0 para todo real, não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: calcular \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x). Para grandes |x|,
f(x)=\frac{-x}{x^{2}+1}\sim -\frac{1}{x}\to 0.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 e existe uma assíntota horizontal y=0.
  • Assíntotas inclinadas: existem quando o grau do numerador é exatamente 1 maior que o do denominador (ou quando a razão tende a uma reta não nula). Aqui o grau do numerador é 1 e do denominador é 2, logo não há assíntota inclinada. (Também porque f(x)\to 0, não tende a uma reta não horizontal.)

Passo 9

Esboço do gráfico — pontos chave e instruções para desenhar:
  • Pontos importantes para plotar:
    • Interseção: (0,0).
    • Máximo local: \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr).
    • Mínimo local: \bigl(1,-\tfrac{1}{2}\bigr).
    • Pontos de inflexão: \bigl(-\sqrt{3},\tfrac{\sqrt{3}}{4}\bigr), (0,0), \bigl(\sqrt{3},-\tfrac{\sqrt{3}}{4}\bigr).
    • Alguns valores numéricos úteis (retirados por cálculo): f(-2)=\tfrac{2}{5}=0{,}4, f(2)=-\tfrac{2}{5}=-0{,}4, f(-1)=0{,}5, f(1)=-0{,}5, f(\pm\sqrt{3})\approx \pm 0{,}433.
  • Comportamento global (para desenhar):
    • Para x\to -\infty, f(x)\to 0^{+} (aproxima-se de 0 por cima).
    • Cresce até atingir máximo em (-1,1/2), depois decresce passando por (0,0) até o mínimo em (1,-1/2), e depois cresce voltando a aproximar-se de 0 por baixo quando x\to\infty.
    • Concavidades trocam em x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3} conforme listado no passo anterior.
    • Graficamente, por ser função ímpar, a metade direita se obtém pela rotação de 180^\circ da metade esquerda.
  • Esses dados são suficientes para um esboço preciso: desenhe a assíntota y=0, marque os pontos citados e conecte respeitando os intervalos de monotonicidade e concavidade.

Resposta

i) Domínio: \mathbb{R}. Interseções com os eixos: x-intercept e y-intercept em (0,0).
ii) Crescente em (-\infty,-1)\cup(1,\infty). Decrescente em (-1,1). Máximo local em \bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr). Mínimo local em \bigl(1,-\tfrac{1}{2}\bigr).
iii) Concava para cima em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3}). Concava para baixo em (-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty). Pontos de inflexão em \bigl(-\sqrt{3},\tfrac{\sqrt{3}}{4}\bigr), (0,0) e \bigl(\sqrt{3},-\tfrac{\sqrt{3}}{4}\bigr).
iv) Assíntotas: nenhuma vertical; assíntota horizontal y=0; nenhuma assíntota inclinada.
v) Esboço: gráfico passando por (0,0), máximo em (-1,1/2), mínimo em (1,-1/2), com assíntota horizontal y=0; concavidade e pontos de inflexão conforme item (iii); função ímpar (simetria ao redor da origem).

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