\begin{aligned} &\text{(i)}\quad x^{2}+y^{2}\geq 1\quad\text{(região fora do cilindro de raio 1 ao longo de }z\text{);}\\\ &\text{(ii)}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5\quad\text{(dentro da esfera de raio }\sqrt{5}\text{).} \end{aligned}
Passo 2
Escolho usar coordenadas cilíndricas porque a região é naturalmente descrita por condições envolvendo x^{2}+y^{2} (que vira r^{2} em cilíndricas). Em coordenadas cilíndricas:
Faço a integral em r usando a substituição u=5-r^{2}. Então du=-2r\,dr, ou r\,dr=-\dfrac{du}{2}. Quando r=1 temos u=4; quando r=\sqrt{5} temos u=0. Substituindo: