Questão 2: (2.5 pontos)
Seja Q a região de \mathbb{R}^{3} definida por
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \geq 1, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 5\right\}
Calcule
\iiint_{Q}\left(z^{2}+1\right) d V

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{Q}\left(z^{2}+1\right)\,dV
onde Q é a região de \mathbb{R}^{3} definida por
\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}\geq 1,\; x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5\right\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad x^{2}+y^{2}\geq 1\quad\text{(região fora do cilindro de raio 1 ao longo de }z\text{);}\\\ &\text{(ii)}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5\quad\text{(dentro da esfera de raio }\sqrt{5}\text{).} \end{aligned}ã

Passo 2

Escolho usar coordenadas cilíndricas porque a região é naturalmente descrita por condições envolvendo x^{2}+y^{2} (que vira r^{2} em cilíndricas). Em coordenadas cilíndricas:
\begin{aligned} &x = r\cos\theta,\\\ &y = r\sin\theta,\\\ &z = z, \end{aligned}
onde r\ge0, \theta\in[0,2\pi) e z\in\mathbb{R}. O elemento de volume em cilíndricas é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Explicando por que: a área de uma “fatia” radial em xy vale aproximadamente r\,dr\,d\theta, e multiplicando pela espessura em z dá o volume.

Passo 3

Determino os limites das variáveis em cilíndricas usando as desigualdades:
x^{2}+y^{2}=r^{2}\geq 1\quad\Rightarrow\quad r\in[1,\;\sqrt{5}],
pois da esfera r^{2}+z^{2}\leq 5 segue r^{2}\le5 (logo r\le\sqrt{5}). Para z, a esfera dá
z^{2}\le 5-r^{2}\quad\Rightarrow\quad z\in\left[-\sqrt{5-r^{2}},\;\sqrt{5-r^{2}}\right].
E \theta percorre todo o círculo:
\theta\in[0,2\pi].
Observação: a região é simétrica em relação ao plano z=0, o que facilita integrações em z.

Passo 4

Escrevo a integral em coordenadas cilíndricas e escolho integrar primeiro em z:
\iiint_{Q}\left(z^{2}+1\right)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{r=1}^{\sqrt{5}}\int_{z=-\sqrt{5-r^{2}}}^{\sqrt{5-r^{2}}}\left(z^{2}+1\right) r\,dz\,dr\,d\theta.
Justificativa da ordem: integrar em z primeiro é natural porque os limites em z são funções simples de r; depois sobra integrar em r e \theta.

Passo 5

Calculo a integral interna em z. Defino h=\sqrt{5-r^{2}} para abreviar. Então
\int_{-h}^{h}\left(z^{2}+1\right)\,dz = \int_{-h}^{h}z^{2}\,dz+\int_{-h}^{h}1\,dz.
Avalio cada termo:
\int_{-h}^{h}z^{2}\,dz = 2\int_{0}^{h}z^{2}\,dz = 2\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{h} = \frac{2h^{3}}{3},
\int_{-h}^{h}1\,dz = 2h.
Somando,
\int_{-h}^{h}\left(z^{2}+1\right)\,dz = \frac{2h^{3}}{3}+2h.

Passo 6

Volto à integral em r,\theta. Substituindo h=\sqrt{5-r^{2}} e multiplicando por r (do elemento de volume), o integrando em r fica
r\left(\frac{2h^{3}}{3}+2h\right) = r\left(\frac{2}{3}(5-r^{2})^{3/2}+2(5-r^{2})^{1/2}\right).
Fatorando 2(5-r^{2})^{1/2}:
r\left(\frac{2h^{3}}{3}+2h\right) = \frac{2}{3}r(3h+ h^{3}) = \frac{2}{3}r\,h(3+h^{2}).
Como h^{2}=5-r^{2}, temos 3+h^{2}=3+(5-r^{2})=8-r^{2}. Assim o integrando simplifica para
\frac{2}{3}r(8-r^{2})\sqrt{5-r^{2}}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{1}^{\sqrt{5}} \frac{2}{3}r(8-r^{2})\sqrt{5-r^{2}}\,dr.

Passo 7

Faço a integral em r usando a substituição u=5-r^{2}. Então du=-2r\,dr, ou r\,dr=-\dfrac{du}{2}. Quando r=1 temos u=4; quando r=\sqrt{5} temos u=0. Substituindo:
\int_{1}^{\sqrt{5}} \frac{2}{3}r(8-r^{2})\sqrt{5-r^{2}}\,dr = \frac{2}{3}\int_{r=1}^{\sqrt{5}} (8-r^{2})(5-r^{2})^{1/2} r\,dr.
Com u=5-r^{2} e r\,dr=-\dfrac{du}{2}, e observando 8-r^{2}=8-(5-u)=3+u, obtemos
\begin{aligned} &\frac{2}{3}\int_{r=1}^{\sqrt{5}} (8-r^{2})(5-r^{2})^{1/2} r\,dr = \frac{2}{3}\int_{u=4}^{0} (3+u)u^{1/2}\left(-\dfrac{du}{2}\right)\\\ &\quad= -\frac{1}{3}\int_{4}^{0}(3+u)u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\int_{0}^{4}(3+u)u^{1/2}\,du. \end{aligned}
Agora integro termo a termo:
\frac{1}{3}\left(\int_{0}^{4}3u^{1/2}\,du + \int_{0}^{4}u^{3/2}\,du\right) = \frac{1}{3}\left(3\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{4} + \frac{2}{5}u^{5/2}\Big|_{0}^{4}\right).
Calculo as potências:
4^{3/2}=8,\qquad 4^{5/2}=32.
Substituindo:
\frac{1}{3}\left(2\cdot 8 + \frac{2}{5}\cdot 32\right) = \frac{1}{3}\left(16 + \frac{64}{5}\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{144}{5} = \frac{48}{5}.

Passo 8

Multiplico pelo fator da integração em \theta, que é \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Assim o valor da integral tripla é
2\pi\cdot \frac{48}{5} = \frac{96\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{96\pi}{5}

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