Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o seguinte limite existe e, em caso afirmativo, encontrar seu valor:
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right)^{x}.
Informações dadas: a expressão é \left(1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}\right)^{x} e a variável x tende a +\infty. A pergunta é se o limite existe e qual é seu valor.

Passo 2

Transformação para facilitar: vamos aplicar a função logaritmo natural para transformar a potência em produto, porque é muito mais fácil avaliar limites de produtos do que limites de potências. Seja
y=\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right)^{x}.
Tomando log natural em ambos os lados obtemos
\ln y = x\cdot \ln\!\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right).
Propriedade usada: a função exponencial é contínua, então se o limite de \ln y existir e for igual a L, então o limite original existe e vale e^{L}. Portanto basta calcular
L=\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right).

Passo 3

Reescrevemos L como uma razão para poder aplicar o Teorema de l’Hôpital:
L=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}\right)}{1/x}.
Verificação da forma indeterminada: quando x\to\infty temos \ln\!\left(1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}\right)\to\ln 1=0 e 1/x\to 0, então a razão está na forma 0/0. Assim as hipóteses do Teorema de l’Hôpital são satisfeitas (funções diferenciáveis para x grande), podemos derivar numerador e denominador.

Passo 4

Derivadas necessárias:
  • No numerador, use a regra da cadeia. Seja u(x)=1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}. Então \ln(u(x))’ = \dfrac{u'(x)}{u(x)}.
    Calculamos u'(x): u'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right) =-\,\frac{3}{x^{2}}- \frac{10}{x^{3}}.Logo a derivada do numerador é \frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{10}{x^{3}}}{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}}.
  • No denominador, \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Aplicando l’Hôpital:
L=\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{-\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{10}{x^{3}}}{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 5

Simplificação da expressão do passo anterior: o sinal negativo e o fator \dfrac{1}{x^{2}} cancelam parcialmente. Fazendo as simplificações com calma,
L=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}}\cdot\left(3+\frac{10}{x}\right).
Agora avaliamos o limite termo a termo: quando x\to\infty temos 1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}\to 1 e \dfrac{10}{x}\to 0. Portanto
L=\frac{1}{1}\cdot 3 = 3.

Passo 6

Retornando ao original: como \lim_{x\to\infty}\ln y = L = 3 e a exponencial é contínua, concluímos que
\lim_{x\to\infty} y = \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right)^{x} = e^{3}.

Resposta

e^{3}

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