Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o seguinte limite existe e, em caso afirmativo, encontrar seu valor:
Informações dadas: a expressão é
e a variável
tende a
. A pergunta é se o limite existe e qual é seu valor.
Passo 2
Transformação para facilitar: vamos aplicar a função logaritmo natural para transformar a potência em produto, porque é muito mais fácil avaliar limites de produtos do que limites de potências. Seja
Tomando log natural em ambos os lados obtemos
Propriedade usada: a função exponencial é contínua, então se o limite de
existir e for igual a
, então o limite original existe e vale
. Portanto basta calcular
Passo 3
Reescrevemos
como uma razão para poder aplicar o Teorema de l’Hôpital:
Verificação da forma indeterminada: quando
temos
e
, então a razão está na forma
. Assim as hipóteses do Teorema de l’Hôpital são satisfeitas (funções diferenciáveis para
grande), podemos derivar numerador e denominador.
Passo 4
Derivadas necessárias:
- No numerador, use a regra da cadeia. Seja
. Então ’ = .
Calculamos: Logo a derivada do numerador é - No denominador,
.
Aplicando l’Hôpital:
Passo 5
Simplificação da expressão do passo anterior: o sinal negativo e o fator
cancelam parcialmente. Fazendo as simplificações com calma,
Agora avaliamos o limite termo a termo: quando
temos
e
. Portanto
Passo 6
Retornando ao original: como
e a exponencial é contínua, concluímos que