Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2 x+3}{2 x+1}\right)^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{2x+3}{2x+1}\Bigr)^{x+1}.
Esse é um caso de forma indeterminada do tipo 1^\infty, então vamos usar transformação logarítmica para resolver.

Passo 2

Seja
y = \Bigl(\frac{2x+3}{2x+1}\Bigr)^{x+1}.
Aplicando logaritmo natural, obtemos
\ln y = (x+1)\,\ln\Bigl(\frac{2x+3}{2x+1}\Bigr).

Passo 3

Escrevemos o quociente como uma soma unitária:
\frac{2x+3}{2x+1} = 1 + \frac{2}{2x+1}.
Logo
\ln y = (x+1)\,\ln\!\Bigl(1 + \tfrac{2}{2x+1}\Bigr).

Passo 4

Para x\to+\infty, o termo \tfrac{2}{2x+1} tende a zero e usamos
\ln(1+u)\sim u\quad(u\to0).
Assim
\lim_{x\to\infty}\ln y = \lim_{x\to\infty}(x+1)\,\frac{2}{2x+1} = \lim_{x\to\infty}\frac{2x+2}{2x+1} =1.

Passo 5

Como \lim_{x\to\infty}\ln y=1, temos
\lim_{x\to\infty}y = e^1 = e.
Portanto o limite existe e vale e.

Resposta

e

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