Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow 0} \ln \left[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x \to 0} \ln\!\biggl[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\biggr].
O conteúdo envolve limites de funções compostas e simplificação de expressões com radicais; vamos precisar racionalizar a diferença de raízes para achar a parte interna antes de aplicar a função logaritmo.

Passo 2

Racionalizamos o numerador da fração interna:
\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} =\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} {\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} =\frac{(1+x)-(1-x)}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} =\frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}.
Então
\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} =\frac{2x}{x\bigl(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\bigr)} =\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}.

Passo 3

Agora calculamos o limite da fração simplificada quando x \to 0:
\lim_{x \to 0}\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} =\frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}} =\frac{2}{1+1} =1.

Passo 4

Como a função \ln é contínua no ponto 1, podemos passar o limite para dentro do logaritmo:
\lim_{x \to 0}\ln\!\biggl[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\biggr] =\ln\!\Bigl(\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\Bigr) =\ln(1)=0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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