Questão 1 (0.5 ponto)
Seja
uma função derivável com inversa
. Use os dados da tabela abaixo para calcular
.
1
2
4
2
5
2
3
8
6
(a)
(b) 1
(c)
(d) 2
(e) Nenhuma das anteriores
|
|
|
|
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 5 | 2 |
| 3 | 8 | 6 |
(b) 1
(c)
(d) 2
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
usando os dados da tabela. Peguei os valores diretamente da tabela:
Passo 2
Vou lembrar e explicar uma fórmula essencial: a derivada da inversa de
. Se
é diferenciável e tem inversa
, então para qualquer
no domínio de
vale a identidade
Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando a regra da cadeia) obtemos
Desse produto isolamos a derivada da inversa:
Explicando as variáveis:
é o ponto onde avaliamos a derivada da inversa;
é o ponto
tal que
;
é a derivada de
no ponto
. Então a derivada da inversa em
é o inverso da derivada de
no ponto
.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
: preciso achar
tal que
. Olhando a tabela, peguei o dado da tabela:
. Logo
. Pela fórmula,
Pego de novo o valor da tabela
. Portanto
Passo 4
Agora calculo
. Isso é simplesmente o inverso de
. Da tabela peguei
. Assim
Passo 5
Somando as duas parcelas:
Para somar faço denominar comum
:
Resposta
(a)