Questão 1 (0.5 ponto)

Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável com inversa f^{-1}. Use os dados da tabela abaixo para calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5)+\left(f^{\prime}(1)\right)^{-1}.
x f(x) f^{\prime}(x)
1 2 4
2 5 2
3 8 6
(a) \frac{3}{4}
(b) 1
(c) \frac{5}{4}
(d) 2
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5)+\left(f^{\prime}(1)\right)^{-1} usando os dados da tabela. Peguei os valores diretamente da tabela:
\begin{array}{c|c|c} x & f(x) & f'(x)\\hline 1 & 2 & 4\\\\ 2 & 5 & 2\\\\ 3 & 8 & 6 \end{array}

Passo 2

Vou lembrar e explicar uma fórmula essencial: a derivada da inversa de f. Se f é diferenciável e tem inversa f^{-1}, então para qualquer y no domínio de f^{-1} vale a identidade
f(f^{-1}(y)) = y.
Diferenciando ambos os lados em relação a y (usando a regra da cadeia) obtemos
f'\big(f^{-1}(y)\big)\cdot \big(f^{-1}\big)'(y) = 1.
Desse produto isolamos a derivada da inversa:
\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}.
Explicando as variáveis: y é o ponto onde avaliamos a derivada da inversa; f^{-1}(y) é o ponto a tal que f(a)=y; f'(a) é a derivada de f no ponto a. Então a derivada da inversa em y é o inverso da derivada de f no ponto a.

Passo 3

Aplicando a fórmula para \big(f^{-1}\big)'(5): preciso achar a tal que f(a)=5. Olhando a tabela, peguei o dado da tabela: f(2)=5. Logo a=2. Pela fórmula,
\big(f^{-1}\big)'(5)=\frac{1}{f'(2)}.
Pego de novo o valor da tabela f'(2)=2. Portanto
\big(f^{-1}\big)'(5)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora calculo \big(f'(1)\big)^{-1}. Isso é simplesmente o inverso de f'(1). Da tabela peguei f'(1)=4. Assim
\big(f'(1)\big)^{-1}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
\big(f^{-1}\big)'(5)+\big(f'(1)\big)^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}.
Para somar faço denominar comum 4:
\frac{1}{2}=\frac{2}{4},\quad \frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Resposta

(a) \frac{3}{4}

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