Questão 1: (1,2 pontos cada) Resolva as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações relevantes que temos:
- Trata‑se de uma equação linear não homogênea de segunda ordem.
- O lado direito é a soma de duas funções:
e . - Por linearidade, podemos procurar uma solução particular como soma de particulares correspondentes a
e a .
A resolução seguirá: (1) achar a solução complementar da equação homogênea associada; (2) achar soluções particulares para cada termo do RHS e somá‑las; (3) somar complementar + particular para obter a solução geral.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática (fatorando)
portanto as raízes são
e
. Logo a solução complementar (solução geral da homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Método para a solução particular: método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Ideia rápida e intuitiva:
- Para um termo do tipo
tentamos , a não ser que seja raiz da eq. característica (resonância). Se houver ressonância, multiplicar por potências de . - Para termos
ou tentamos , salvo ressonância com raízes imaginárias puras da característica.
Aqui, as raízes da característica sãoe . Comparando: -
(do ) não é raiz da característica → sem ressonância. -
(do ) corresponde a raízes que também não são raízes da característica → sem ressonância.
Portanto podemos usar os testes padrão.
Passo 4
Encontrar particular para
. Propor
com
constante a determinar.
Calcular derivadas:
Calcular derivadas:
Substituir na equação (lado esquerdo):
Queremos que isso iguale ao termo correspondente do RHS, que é
. Logo
Portanto
Passo 5
Encontrar particular para
com
constantes a determinar. Calcular derivadas:
Substituir em
:
juntando os termos em e
,
juntando os termos em
- coeficiente de
: (de ) (de ) (de ), totalizando . - coeficiente de
: (de ) (de ) (de ), totalizando .
Portanto
Queremos que isto seja igual a
, isto é
. Assim obtemos o sistema linear para
:
Resolver o sistema: da primeira equação
. Logo
Passo 6
Somar as soluções particulares obtidas:
A solução geral da equação (soma da solução complementar com a particular) é
Pequeno incentivo: já estamos no fim — é só anotar as constantes
e pronto. Se quiser, dá pra verificar derivando e substituindo de volta; os termos vão se cancelar certinho.