Questão 1: (1,2 pontos cada) Resolva as equações diferenciais a seguir:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=e^{4 x}+\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+y'-6y=e^{4x}+\sin(x).
Informações relevantes que temos:
  • Trata‑se de uma equação linear não homogênea de segunda ordem.
  • O lado direito é a soma de duas funções: e^{4x} e \sin(x).
  • Por linearidade, podemos procurar uma solução particular como soma de particulares correspondentes a e^{4x} e a \sin(x).
    A resolução seguirá: (1) achar a solução complementar da equação homogênea associada; (2) achar soluções particulares para cada termo do RHS e somá‑las; (3) somar complementar + particular para obter a solução geral.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada
y''+y'-6y=0.
Assumimos uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+r-6=0.
Resolvendo essa quadrática (fatorando)
r^{2}+r-6=(r+3)(r-2)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=-3. Logo a solução complementar (solução geral da homogênea) é
y_{c}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Método para a solução particular: método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Ideia rápida e intuitiva:
  • Para um termo do tipo e^{\alpha x} tentamos A e^{\alpha x}, a não ser que \alpha seja raiz da eq. característica (resonância). Se houver ressonância, multiplicar por potências de x.
  • Para termos \sin(\beta x) ou \cos(\beta x) tentamos a\cos(\beta x)+b\sin(\beta x), salvo ressonância com raízes imaginárias puras da característica.
    Aqui, as raízes da característica são 2 e -3. Comparando:
  • \alpha=4 (do e^{4x}) não é raiz da característica → sem ressonância.
  • \beta=1 (do \sin x) corresponde a raízes \pm i que também não são raízes da característica → sem ressonância.
    Portanto podemos usar os testes padrão.

Passo 4

Encontrar particular para e^{4x}. Propor y_{p1}=A e^{4x} com A constante a determinar.
Calcular derivadas:
y_{p1}'=4A e^{4x},\qquad y_{p1}''=16A e^{4x}.
Substituir na equação (lado esquerdo):
y_{p1}''+y_{p1}'-6y_{p1}=(16A+4A-6A)e^{4x}=(14A)e^{4x}.
Queremos que isso iguale ao termo correspondente do RHS, que é e^{4x}. Logo
14A e^{4x}=1\cdot e^{4x}\quad\Rightarrow\quad 14A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{14}.
Portanto
y_{p1}=\frac{1}{14}e^{4x}.

Passo 5

Encontrar particular para \sin x\). Propor \[y_{p2}=a\cos x+b\sin x,
com a,b constantes a determinar. Calcular derivadas:
y_{p2}'=-a\sin x+b\cos x,
y_{p2}''=-a\cos x-b\sin x.
Substituir em y''+y'-6y:
juntando os termos em \cos x e \sin x,
  • coeficiente de \cos x: (-a) (de y'') +\;b (de y') -6a (de -6y), totalizando b-7a.
  • coeficiente de \sin x: (-b) (de y'') -a (de y') -6b (de -6y), totalizando -a-7b.
    Portanto
y_{p2}''+y_{p2}'-6y_{p2}=(b-7a)\cos x+(-a-7b)\sin x.
Queremos que isto seja igual a \sin x, isto é 0\cdot\cos x+1\cdot\sin x. Assim obtemos o sistema linear para a,b:
\begin{cases} b-7a=0,\\[4pt] -a-7b=1. \end{cases}
Resolver o sistema: da primeira equação b=7a\]. Substituindo na segunda: \[-a-7(7a)=1\quad\Rightarrow\quad -a-49a=1\quad\Rightarrow\quad -50a=1\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{50}.\] Então \(b=7a=-\frac{7}{50}. Logo
y_{p2}=-\frac{1}{50}\cos x-\frac{7}{50}\sin x.]

Passo 6

Somar as soluções particulares obtidas:
y_{p}=y_{p1}+y_{p2}=\frac{1}{14}e^{4x}-\frac{1}{50}\cos x-\frac{7}{50}\sin x.
A solução geral da equação (soma da solução complementar com a particular) é
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x}+\frac{1}{14}e^{4x}-\frac{1}{50}\cos x-\frac{7}{50}\sin x.
Pequeno incentivo: já estamos no fim — é só anotar as constantes C_{1},C_{2} e pronto. Se quiser, dá pra verificar derivando e substituindo de volta; os termos vão se cancelar certinho.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x}+\dfrac{1}{14}e^{4x}-\dfrac{1}{50}\cos x-\dfrac{7}{50}\sin x

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