Questão 1: (1,2 pontos cada) Resolva as equações diferenciais a seguir:
\left(x+y e^{\frac{y}{x}}\right) d x-x e^{\frac{y}{x}} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\left(x+y e^{\frac{y}{x}}\right)\,dx - x e^{\frac{y}{x}}\,dy = 0
e pede para resolver essa equação, ou seja, encontrar a família de curvas (solução geral) que satisfazem essa relação entre x e y. As informações relevantes são:
  • A equação está escrita na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=x+y e^{\frac{y}{x}} e N(x,y)=-x e^{\frac{y}{x}}.
  • Aparece repetidamente o termo \dfrac{y}{x} dentro do exponencial, o que sugere que uma mudança de variável envolvendo y/x pode simplificar a equação.

Passo 2

Sugestão de substituição e por quê (explicação didática).
  • Quando uma equação contém funções de \dfrac{y}{x} (como aqui em e^{\frac{y}{x}}), uma estratégia comum é usar a substituição
y = u x,
onde u é uma nova função de x. Isso transforma dependências de \dfrac{y}{x} em dependências de u (pois \dfrac{y}{x}=u), às vezes simplificando muito a equação.
  • Derivando y = u x em relação a x obtemos a regra do produto:
dy = u\,dx + x\,du.
Essa fórmula é essencial para substituir dy na equação original.

Passo 3

Fazer a substituição y=ux na equação original, passo a passo.
  • Primeiro observe e^{\frac{y}{x}} = e^{u}.
  • Substituindo y=ux e dy = u\,dx + x\,du em
\left(x+y e^{\frac{y}{x}}\right)\,dx - x e^{\frac{y}{x}}\,dy = 0,
temos
\bigl(x + (u x) e^{u}\bigr)\,dx - x e^{u}\bigl(u\,dx + x\,du\bigr) = 0.
  • Agora executar as multiplicações:
x\,dx + u x e^{u}\,dx - x e^{u}\cdot u\,dx - x e^{u}\cdot x\,du = 0.
  • Note que os termos com u x e^{u}\,dx se cancelam:
x\,dx - x^{2} e^{u}\,du = 0.

Passo 4

Reescrever a equação resultante numa forma separável e explicar o conceito.
  • A última expressão é
x\,dx - x^{2} e^{u}\,du = 0.
  • Podemos rearranjar para separar variáveis x e u. Dividindo por x^{2} (preservando x\neq 0 como domínio) obtemos
\frac{dx}{x} - e^{u}\,du = 0.
  • Isolando termos:
\frac{dx}{x} = e^{u}\,du.
  • Explicação: uma equação é dita separável quando pode ser escrita como uma função só de x vezes dx igual a uma função só de u vezes du. Isso permite integrar ambos os lados facilmente.

Passo 5

Integrar ambos os lados e explicar as integrais usadas.
  • Integrando:
\int \frac{dx}{x} = \int e^{u}\,du.
  • As integrais conhecidas:
    • \displaystyle \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_1. (Lembre: a integral de 1/x é o logaritmo natural com valor absoluto.)
    • \displaystyle \int e^{u}\,du = e^{u} + C_2. (A função exponencial é sua própria derivada/integral.)
  • Iguala-se (podemos juntar as constantes de integração em uma só constante C):
\ln|x| = e^{u} + C.

Passo 6

Voltar à variável original y e escrever a solução final (implícita).
  • Lembrando que u=\dfrac{y}{x}, substituímos de volta:
\ln|x| = e^{\frac{y}{x}} + C.
  • Podemos rearranjar para uma forma mais habitual de solução implícita:
\ln|x| - e^{\frac{y}{x}} = C.
  • Aqui C é a constante arbitrária de integração. Essa equação define a família de soluções implícitas da equação diferencial dada. Em muitos problemas essa forma implícita é suficiente; isolar y explicitamente exigiria aplicar logaritmos e a função inversa do exponencial dentro de uma expressão com \ln|x|, o que normalmente não simplifica melhor do que a forma acima.

Resposta

\ln|x| - e^{\frac{y}{x}} = C

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