Questão 1: (1,2 pontos cada) Resolva as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para resolver essa equação, ou seja, encontrar a família de curvas (solução geral) que satisfazem essa relação entre
e
. As informações relevantes são:
- A equação está escrita na forma
com e . - Aparece repetidamente o termo
dentro do exponencial, o que sugere que uma mudança de variável envolvendo pode simplificar a equação.
Passo 2
Sugestão de substituição e por quê (explicação didática).
- Quando uma equação contém funções de
(como aqui em ), uma estratégia comum é usar a substituição
onde
é uma nova função de
. Isso transforma dependências de
em dependências de
(pois
), às vezes simplificando muito a equação.
- Derivando
em relação a obtemos a regra do produto:
Essa fórmula é essencial para substituir
na equação original.
Passo 3
Fazer a substituição
na equação original, passo a passo.
- Primeiro observe
. - Substituindo
e em
temos
- Agora executar as multiplicações:
- Note que os termos com
se cancelam:
Passo 4
Reescrever a equação resultante numa forma separável e explicar o conceito.
- A última expressão é
- Podemos rearranjar para separar variáveis
e . Dividindo por (preservando como domínio) obtemos
- Isolando termos:
- Explicação: uma equação é dita separável quando pode ser escrita como uma função só de
vezes igual a uma função só de vezes . Isso permite integrar ambos os lados facilmente.
Passo 5
Integrar ambos os lados e explicar as integrais usadas.
- Integrando:
- As integrais conhecidas:
-
. (Lembre: a integral de é o logaritmo natural com valor absoluto.) -
. (A função exponencial é sua própria derivada/integral.)
-
- Iguala-se (podemos juntar as constantes de integração em uma só constante
):
Passo 6
Voltar à variável original
e escrever a solução final (implícita).
- Lembrando que
, substituímos de volta:
- Podemos rearranjar para uma forma mais habitual de solução implícita:
- Aqui
é a constante arbitrária de integração. Essa equação define a família de soluções implícitas da equação diferencial dada. Em muitos problemas essa forma implícita é suficiente; isolar explicitamente exigiria aplicar logaritmos e a função inversa do exponencial dentro de uma expressão com , o que normalmente não simplifica melhor do que a forma acima.