Questão 1 ( 6.0 pontos). Calcule a integral ou mostre que ela é divergente:
(b) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{3}(x) \cos ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}(x)\cos^{2}(x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas usando substituição.

Passo 2

Reescrevemos o integrando de modo a aproveitar uma substituição conveniente:
\sin^{3}(x)\cos^{2}(x)=\sin^{2}(x)\,\sin(x)\,\cos^{2}(x).
Escolhemos
u = \cos(x), \qquad du = -\sin(x)\,dx,
e usamos \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x)=1-u^{2}. Então
\sin^{3}(x)\cos^{2}(x)\,dx =(1-u^{2})\,u^{2}\,\sin(x)\,dx =-(1-u^{2})\,u^{2}\,du.

Passo 3

Quando x=0, temos u=\cos(0)=1.
Quando x=\pi/2, temos u=\cos(\pi/2)=0.
Logo a integral torna-se
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}(x)\cos^{2}(x)\,dx =-\int_{1}^{0}(u^{2}-u^{4})\,du =\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{4})\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{4})\,du =\Bigl[\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}-\frac{1}{5} =\frac{5-3}{15} =\frac{2}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{15}

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