QUESTÃO 1 (1 ponto) - Considere os sistemas abaixo e faça o que se pede.
a) Utilize as operações elementares sobre linhas para classificar os sistemas abaixo em consistente/inconsistente. Caso o sistema seja consistente, indique se ele é determinado ou indeterminado.
b) Se existir algum sistema indeterminado, ache a solução geral e uma solução particular deste sistema.
\left\{\begin{array} { c } { 3 x - 5 y + z = 0 } \\\ { - 5 x + y - 4 z = - 1 0 } \\\ { - 4 x + 2 y - 4 z = - 4 } \end{array} \quad \left\{\begin{array} { c } { 4 0 x - 3 0 y + 2 5 z - 5 0 = 0 } \\\ { 7 x - 1 9 y + 1 0 = 0 } \\\ { 1 3 x + 1 5 y + 1 6 z - 5 0 = 0 } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{c} -2 x-y+4 z+23=0 \\\\ 4 x+2 y-2 z-16=0 \\\\ -3 x+4 y-2 z-17=0 \end{array}\right.\right.\right.
Passo 1
Resumindo, temos três sistemas lineares 3\times3. O objetivo é usar operações elementares sobre linhas (eliminação de Gauss) para, em cada caso, determinar se o sistema é consistente ou inconsistente; se consistente, verificar se é determinado (solução única) ou indeterminado (infinitas soluções). Se houver sistema indeterminado, devemos apresentar a solução geral e também uma solução particular.
Após eliminação de Gauss chega-se a duas equações independentes em y,z e uma linha nula, o que dá posto 2<3. O sistema é consistente e indeterminado. Das duas equações não triviais extraímos
leva, por eliminação, a pivôs não nulos em todas as três colunas de variáveis, resultando em (x,y,z)=(\tfrac{5}{11},\,\tfrac{23}{11},\,-5). Há solução única, logo o sistema é consistente e determinado.
Resposta
Sistema 1: consistente e determinado, solução (4,2,-2).
Sistema 2: consistente e indeterminado, solução geral