QUESTÃO 1 (1 ponto) - Considere os sistemas abaixo e faça o que se pede.
a) Utilize as operações elementares sobre linhas para classificar os sistemas abaixo em consistente/inconsistente. Caso o sistema seja consistente, indique se ele é determinado ou indeterminado.
b) Se existir algum sistema indeterminado, ache a solução geral e uma solução particular deste sistema.
\left\{\begin{array} { c } { 3 x - 5 y + z = 0 } \\\ { - 5 x + y - 4 z = - 1 0 } \\\ { - 4 x + 2 y - 4 z = - 4 } \end{array} \quad \left\{\begin{array} { c } { 4 0 x - 3 0 y + 2 5 z - 5 0 = 0 } \\\ { 7 x - 1 9 y + 1 0 = 0 } \\\ { 1 3 x + 1 5 y + 1 6 z - 5 0 = 0 } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{c} -2 x-y+4 z+23=0 \\\\ 4 x+2 y-2 z-16=0 \\\\ -3 x+4 y-2 z-17=0 \end{array}\right.\right.\right.

Passo 1

Resumindo, temos três sistemas lineares 3\times3. O objetivo é usar operações elementares sobre linhas (eliminação de Gauss) para, em cada caso, determinar se o sistema é consistente ou inconsistente; se consistente, verificar se é determinado (solução única) ou indeterminado (infinitas soluções). Se houver sistema indeterminado, devemos apresentar a solução geral e também uma solução particular.

Passo 2

Analisando o primeiro sistema
\left\{\begin{aligned} 3x-5y+z&=0,\\\\ -5x+y-4z&=-10,\\\\ -4x+2y-4z&=-4, \end{aligned}\right.
montamos a matriz aumentada
\begin{pmatrix} 3 & -5 & 1 & 0\\\\ -5 & 1 & -4 & -10\\\\ -4 & 2 & -4 & -4 \end{pmatrix}.
Usando eliminação de Gauss, obtemos a forma escalonada
\begin{pmatrix} 3 & -5 & 1 & 0\\\\ 0 & -\tfrac{22}{3} & -\tfrac{7}{3} & -10\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{39}{11} & \tfrac{78}{11} \end{pmatrix}.
Da última linha surge
-\tfrac{39}{11}z=\tfrac{78}{11} \quad\Longrightarrow\quad z=-2.
Substituindo na segunda linha
-\tfrac{22}{3}y-\tfrac{7}{3}(-2)=-10 \quad\Longrightarrow\quad y=2,
e na primeira
3x-5\cdot2+(-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=4.
Logo há solução única (x,y,z)=(4,2,-2). O sistema é consistente e determinado.

Passo 3

Para o segundo sistema escrevemos as equações como
\begin{cases} 40x-30y+25z=50,\\\\ 7x-19y+0\cdot z=-10,\\\\ 13x+15y+16z=50, \end{cases}
e formamos a matriz aumentada
\begin{pmatrix} 40 & -30 & 25 & 50\\\\ 7 & -19 & 0 & -10\\\\ 13 & 15 & 16 & 50 \end{pmatrix}.
Após eliminação de Gauss chega-se a duas equações independentes em y,z e uma linha nula, o que dá posto 2<3. O sistema é consistente e indeterminado. Das duas equações não triviais extraímos
22y+7z=30, \quad 7x-19y=-10.
Tomando z=t como parâmetro livre, da primeira vem
y=\frac{30-7t}{22},
e da segunda
x=\frac{19y-10}{7} =\frac{19\bigl(\tfrac{30-7t}{22}\bigr)-10}{7} =\frac{25}{11}-\frac{19}{22}t.
Assim a solução geral é
\boxed{ \begin{aligned} x&=\frac{25}{11}-\frac{19}{22}\,t,\\\ y&=\frac{15}{11}-\frac{7}{22}\,t,\\\ z&=t,\quad t\in\mathbb{R}, \end{aligned} }
e uma solução particular, por exemplo para t=0, é
\bigl(x,y,z\bigr)=(\tfrac{25}{11},\tfrac{15}{11},0).

Passo 4

No terceiro sistema
\left\{\begin{aligned} -2x-y+4z&=-23,\\\\ 4x+2y-2z&=16,\\\\ -3x+4y-2z&=17, \end{aligned}\right.
a matriz aumentada
\begin{pmatrix} -2 & -1 & 4 & -23\\\\ 4 & 2 & -2 & 16\\\\ -3 & 4 & -2 & 17 \end{pmatrix}
leva, por eliminação, a pivôs não nulos em todas as três colunas de variáveis, resultando em
(x,y,z)=(\tfrac{5}{11},\,\tfrac{23}{11},\,-5). Há solução única, logo o sistema é consistente e determinado.

Resposta

Sistema 1: consistente e determinado, solução (4,2,-2).
Sistema 2: consistente e indeterminado, solução geral
x=\tfrac{25}{11}-\tfrac{19}{22}t,\quad y=\tfrac{15}{11}-\tfrac{7}{22}t,\quad z=t,
e solução particular (\tfrac{25}{11},\tfrac{15}{11},0).
Sistema 3: consistente e determinado, solução (\tfrac{5}{11},\tfrac{23}{11},-5).

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